Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса. Ларин А.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
111
000
().
nnn
iiiiii
iii
gxLxLx
ϖϖϖ
−−−
===
∆≤∆=∆
∑∑∑
Так как
()
fx
интегрируема по Риману на отрезке
[;]
, то выполняется усло -
вие
1
0
0
lim0,
n
ii
d
i
xϖ
−
→
=
∆=
∑
а поэтому и
1
0
0
lim()0.
n
ii
d
i
gxϖ
−
→
=
∆=
∑
В общем случае представим
()
gx
в виде разности
12
()(())()().
gxLxLxgxgxgx
=−−=−
Функция
1
()
gxLx
=
удовлетворяет условию Липшица и является возрастающей.
То же верно и для функции
2
()(),
gxLxgx
=− поскольку при
12
axxb
≤<≤
222122112121
2121
()()()(())()(()())
()()()0
gxgxLxgxLxgxLxxgxgx
Lxxgxgx
−=−−−=−−−≥
≥−−−≥
и
22212121212121
()()()(()())()()()2().
gxgxLxxgxgxLxxgxgxLxx
−=−−−≤−+−≤−
Доказательство завершается так же , как и в пункте 1.
3. Пусть функция
()
fx
интегрируема по Риману на отрезке
[;]
, а функция
()
gx
представима в виде
()(),
x
a
gxctdt
ϕ=+
∫
где функция
()
t
ϕ
также интегрируема
по Риману на отрезке
[;]
. Тогда интеграл
()()
b
a
fxdgx
∫
существует.
Доказательство. Достаточно показать , что
()
gx
- липшицева функция. По-
скольку функция
()
t
интегрируема на отрезке
[;],
ab
то она ограничена на этом
отрезке . Пусть постоянная
0
L
>
такова, что для любого
[;]
tab
∈
верно неравенст -
во
().
tL
ϕ
≤
Тогда при
12
axxb
≤<≤
имеем
22
11
2121
()()()()(),
xx
xx
gxgxtdttdtLxx
ϕϕ−=≤≤−
∫∫
т. е.
()
gx
- липшицева функция.
Замечание. Пусть функция
()
gx
непрерывна на отрезке
[;]
и имеет всюду на
нем, за исключением, быть может, конечного числа точек, производную
'(),
gx
которая интегрируема по Риману на отрезке
[;]
(в точках, где производная не
существует, функция
'()
gx
доопределяется произвольным образом ). Тогда
справедлива формула
()()'().
x
a
gxgagtdt
=+
∫
Поэтому, если функция
()
fx
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                                 n −1                          n −1                  n−1

                                                                                 ∑ ϖ ∆g ( x ) ≤∑ ϖ L∆x
                                                                                 i =0
                                                                                          i                i
                                                                                                               i =0
                                                                                                                      i       i   =L∑ ϖi ∆xi .
                                                                                                                                     i =0

                                             Так как f ( x) интегрируема по Риману на отрезке [a; b] , то выполняется усло-
                                       вие
                                                                                                    n −1
                                                                                        lim ∑ ϖi ∆xi =0,
                                                                                        d→ 0
                                                                                                    i =0

                                       а поэтому и
                                                                                                   n −1
                                                                                        lim ∑ ϖi ∆g ( xi ) =0.
                                                                                        d→ 0
                                                                                                   i =0



                                             В общем случае представим g ( x) в виде разности
                                                                                g ( x) =Lx −( Lx −g ( x)) = g1 ( x) −g 2 ( x).
                                       Функция g1 ( x) =Lx удовлетворяет условию Липшица и является возрастающей.
                                       То же верно и для функции g 2 ( x) =Lx −g ( x), поскольку при a ≤x1 0 такова, что для любого t ∈[a; b] верно неравенст-
                                       во ϕ(t ) ≤L. Тогда при a ≤x1

Страницы