ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
15
()().
b
a
gxdfx
∫
Пусть
0
{}
in
ii
x
=
=
- произвольное разбиение отрезка
[;]
ab
. Выберем на каждом сегмен-
те
1
[;]
ii
xx
+
(0,1,...,1)
in
=−
произвольным образом точку
i
ξ
, так что
00111111
.......
iiiiinnn
axxxxxxxb
ξξξξ
−−+−−
=≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤=
Сумму Стилтьеса для интеграла
()()
b
a
fxdgx
∫
1
1
0
()(()())
n
iii
i
fgxgx
σξ
−
+
=
=−
∑
можно представить в виде
111
111
0010
11
10
11
1
011
1
()()()()()()()()()()
()()()()()()
()()()(()())()().(2.4.
nnnn
iiiiiiiin
iiii
nn
iiii
ii
n
iiin
i
fgxfgxfgxfgxfgb
fgxfgxfga
gafgxffgbf
σξξξξξ
ξξξ
ξξξξ
−−−
+−−
====
−−
−
==
−
−−
=
===−=+
+−−=
=−+−−
∑∑∑∑
∑∑
∑
1)
Если в формуле (2.4.1) прибавить и отнять справа выражение
()()|()()()(),
b
a
fxgxfbgbfaga
=−
то сумма
σ
запишется в виде
1
011
1
()()|()(()())()(()())()(()()).
n
b
aiiin
i
fxgxgaffagxffgbfbfσξξξξ
−
−−
=
=−−+−+−
∑
Выражение в фигурных скобках представляет собой стилтьесову сумму для ин-
теграла
()(),
b
a
gxdfx
∫
который, по предположению, существует. Эта сумма отвечает разбиению про-
межутка
[;]
ab
точками деления
0111
......,
iin
ab
ξξξξξ
−−
≤≤≤≤≤≤≤≤
если в качестве выбранных на промежутках
1
[;](1,...,1)
ii
inξξ
−
=−
точек взять
i
x
, а на
промежутках
0
[;]
a
ξ
и
1
[;]
n
b
ξ
−
, соответственно,
a
и
b
. Если положить
11
max(),
i
dxx
+
=−
то теперь длины всех частичных промежутков не будут превос-
ходить
2
d
. При
0
d
→
сумма в фигурных скобках стремится к
()(),
b
a
gxdfx
∫
поэтому существует конечный предел и для сумм
σ
, то есть интеграл
()(),
b
a
fxdgx
∫
и справедлива требуемая формула .
Замечание. Из доказанного утверждения следует, что если функция
()
gx
в
промежутке
[;]
ab
интегрируема по функции
()
fx
, то и функция
()
fx
интегри-
руема по функции
()
gx
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
b
∫g ( x)df ( x).
a
Пусть {xi }ii==n0 - произвольное разбиение отрезка [a; b] . Выберем на каждом сегмен-
те [ xi ; xi +1 ] (i =0,1,..., n −1) произвольным образом точку ξi , так что
a =x0 ≤ξ0 ≤x1 ≤... ≤xi −1 ≤ξi −1 ≤xi ≤ξi ≤ xi +1 ≤... ≤ xn −1 ≤ξn−1 ≤ xn =b.
b
Сумму Стилтьеса для интеграла ∫f ( x)dg ( x)
a
n −1
σ =∑ f (ξi )( g ( xi +1 ) −g ( xi ))
i =0
можно представить в виде
n −1 n −1 n n −1
σ =∑ f (ξi ) g ( xi +1 ) =∑ f (ξi ) g ( xi ) =∑ f (ξi −1 ) g ( xi ) −∑ f (ξi ) g ( xi ) = f (ξn −1 ) g (b) +
i =0 i =0 i =1 i =0
n −1 n −1
+∑ f (ξi −1 ) g ( xi ) −∑ f (ξi ) g ( xi ) −f (ξ0 ) g (a) =
i =1 i =1
n −1
� �
=−� g (a) f (ξ0 ) +∑ g ( xi )( f (ξi ) − f (ξi −1 )) −g (b) f (ξn −1 ) � . (2.4.1)
� i =1 �
Если в формуле (2.4.1) прибавить и отнять справа выражение
f ( x) g ( x) |ba = f (b) g (b) − f (a ) g (a ),
то сумма σ запишется в виде
n −1
� �
σ = f ( x) g ( x) |ba −� g (a)( f (ξ0 ) − f (a)) +∑ g ( xi )( f (ξi ) − f (ξi −1 )) +g (b)( f (b) − f (ξn −1 )) � .
� i =1 �
Выражение в фигурных скобках представляет собой стилтьесову сумму для ин-
теграла
b
∫g ( x)df ( x),
a
который, по предположению, существует. Эта сумма отвечает разбиению про-
межутка [a; b] точками деления
a ≤ξ0 ≤ξ1 ≤... ≤ξi −1 ≤ξi ≤... ≤ξn−1 ≤b,
если в качестве выбранных на промежутках [ξi−1 ;ξi ](i =1,..., n −1) точек взять xi , а на
промежутках [a;ξ0 ] и [ξn −1 ; b] , соответственно, a и b . Если положить
d =max( xi +1 −x1 ), то теперь длины всех частичных промежутков не будут превос-
ходить 2d . При d → 0 сумма в фигурных скобках стремится к
b
∫g ( x)df ( x),
a
поэтому существует конечный предел и для сумм σ , то есть интеграл
b
∫f ( x)dg ( x),
a
и справедлива требуемая формула.
Замечание. Из доказанного утверждения следует, что если функция g ( x) в
промежутке [a; b] интегрируема по функции f ( x) , то и функция f ( x) интегри-
руема по функции g ( x) .
15
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
