Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса. Ларин А.А - 17 стр.

                                       где функция ϕ(t ) также интегрируема по Риману на [a; b] . Тогда справедлива
                                       формула
                                                                          b                              b

                                                                          ∫ f ( x)dg ( x) =∫ f ( x)ϕ ( x)dx.
                                                                          a                              a
                                                                                                                                                                                  (2.5.1)


                                          Доказательство. Заметим, что оба выписанных интеграла существуют. Дока-
                                       жем их равенство. Запишем произвольную сумму Стилтьеса σ в виде

                                                            n −1                                         n −1                  xi +1              n −1 xi +1
                                                      σ =∑ f (ξi )( g ( xi +1 ) −g ( xi )) =∑ f (ξi ) ⋅                         ∫ϕ ( x)dx =∑ ∫ f (ξ )ϕ ( x) dx.i
                                                            i =0                                         i =0                   xi                i =0 xi



                                       Представим теперь интеграл в правой части формулы (2.5.1) следующим обра-
                                       зом:
                                                                               b                                  n −1 xi +1

                                                                               ∫f ( x)ϕ( x)dx =∑ ∫ f ( x)ϕ ( x)dx.
                                                                               a                                  i =0 xi

                                       Тогда
                                                                         b                                   n −1 xi +1
                                                                    σ −∫f ( x)ϕ ( x) dx =∑                         ∫( f (ξ ) − f ( x))ϕ ( x)dx.
                                                                                                                                 i
                                                                         a                                   i =0 xi

                                       Пусть L - такая постоянная, что ϕ ( x) ≤L для всех x из промежутка [a; b] , и
                                       пусть ωi - колебание функции f ( x) на отрезке [ xi ; xi +1 ]. Тогда для всех x из отрез-
                                       ка [ xi ; xi +1 ] выполняется неравенство
                                                                                   f (ξi ) − f ( x) ≤ωi , i =0,..., n −1.
                                       Поэтому справедливо неравенство
                                                        b                     n −1 xi +1                                               n−1          xi +1          n −1
                                                    σ −∫f ( x)ϕ ( x)dx ≤∑           ∫ f (ξ ) − f ( x) ϕ ( x) dx ≤∑ ω L ∫dx =L∑ ω ∆x .
                                                                                              i                                               i                           i   i
                                                        a                     i =0 xi                                                  i =0          xi            i =0

                                       Поскольку функция f ( x) интегрируема по Риману на отрезке [a; b] , то при d → 0
                                       имеем:
                                                                                                  n −1

                                                                                                  ∑ ω ∆x
                                                                                                  i =0
                                                                                                              i      i    → 0.

                                       Поэтому
                                                                                                              b
                                                                                           lim σ =∫f ( x)ϕ ( x) dx,
                                                                                           d→0
                                                                                                              a

                                       и равенство (2.5.1) доказано.
                                             Теорема доказана.
                                             Следствие. Пусть функция f ( x) интегрируема по Риману на отрезке [a; b] .
                                       Предположим, далее, что функция g ( x) непрерывна на отрезке [a; b] и имеет всю-
                                       ду в нем, за исключением, быть может, конечного числа точек, производную
                                       g '( x) , которая интегрируема по Риману на [a; b] (в тех точках, где производная не
                                       существует, функция g '( x ) доопределяется произвольным образом). Тогда
                                                                                    b                               b

                                                                                    ∫f ( x) dg ( x) =∫f ( x) g '( x)dx.
                                                                                    a                               a



                                                                                                         17




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com