Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса. Ларин А.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
у
1
х
с
Рис. 3
Пусть функция
()
fx
задана на отрезке
[;]
ab
и непрерывна в точке
[;].
cab
Ес-
ли
cb
=
, то
()0
hxb
−=
при
xb
≤
, поэтому
()
fx
интегрируема по
()
hxb
−
и
()()0.
b
a
fxdhxb
−=
∫
Пусть теперь
.
acb
≤<
Покажем, что интеграл
()()
b
a
fxdhxc
−
∫
существует, и вычислим его .
Рассмотрим произвольное разбиение
{}
0
in
i
i
x
=
=
отрезка
[;]
ab
, и пусть
1
[;],0,...,1.
iii
xxinξ
+
∈=−
Пусть , далее,
k
таково, что
1
kk
xcx
+
≤< (см . рис. 4).
у
()
yhxc
=−
a
k
x
с
k
ξ
1
k
x
+
b
х
Рис.4
Тогда
1
11
0
()(()())()(()())()1().
n
iiikkkkk
i
fhxchxcfhxchxcff
σξξξξ
−
++
=
=−−−=−−−=⋅=
∑
Пусть
0
d
→
, тогда по непрерывности функции
()
fx
в точке
c
()().
k
ffc
По-
этому
0
lim().
d
fc
→
Таким образом , функция
()
fx
интегрируема по
()
hxc
−
и
()()().
b
a
fxdhxcfc
−=
∫
Рассмотрим теперь интеграл
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                                                  у


                                                                                            1

                                                                                                                                         х
                                                                                                           с

                                                                                            Рис. 3

                                          Пусть функция f ( x) задана на отрезке [a; b] и непрерывна в точке c ∈[ a; b]. Ес-
                                       ли c =b , то h( x −b) =0 при x ≤b , поэтому f ( x) интегрируема по h( x −b) и
                                                                                        b

                                                                                        ∫f ( x)dh( x −b) =0.
                                                                                        a

                                           Пусть теперь a ≤c

Страницы