ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
21
1
1
()()()'()()((0)())
()((0)(0))()(()(0)).
bb
aa
m
kkk
k
fxdgxfxgxdxfagaga
fcgcgcfbgbgb
−
=
=++−+
++−−+−−
∫∫
∑
(2.5.2)
Доказательство. Введем специальные обозначения для скачков функции
()
gx
справа и слева:
(0)(),0,...,1,
()(0),1,...,.
kkk
kkk
gcgckm
gcgckm
α
α
+
−
=+−=−
=−−=
Для
1,...,1
km
=−
имеем
(0)(0).
kkkk
gcgcαα
+−
+=+−−
Рассмотрим вспомогательную функцию
1
1
01
()()(),
mm
kkkk
kk
gxhxchcx
αα
−
+−
==
=−−−
∑∑
и пусть
21
()()(),
gxgxgx
=− так что
12
()()().
gxgxgx
=+
Покажем, что функция
2
()
gx
непрерывна на отрезке
[;].
ab
Ясно, что
2
()
gx
непрерывна для
x
, отличных от всех
k
c
, поскольку для таких
x
непрерывны обе функции
()
gx
и
1
()
gx
. Покажем, что функция
2
()
gx
непрерыв-
на и в точках
k
c
,
0,...,.
km
=
Фиксируем произвольную точку
p
c
,
pm
<
. Покажем, что
2
()
gx
непрерывна в
ней справа.
Все слагаемые суммы
1
()
gx
, кроме, быть может, члена
(),
pp
hxc
α
+
−
непрерыв-
ны в точке
p
c
справа. Поэтому достаточно показать , что в точке
p
c
непрерывна
справа функция
()()().
pp
xgxhxc
ϕα
+
=−−
При
p
xc
=
она принимает значение
().
p
gc
Далее,
0
lim(()())(0)(0)((0)())().
p
pppppppp
xc
gxhxcgcgcgcgcgc
αα
++
→+
−−=+−=+−+−=
Так что функция
(),
x
ϕ
а потому и
2
()
gx
, в точке
p
c
непрерывна справа.
Аналогично показывается, что функция
2
()
gx
непрерывна слева в любой точ-
ке
p
c
,
0.
p
>
Итак,
2
()
gx
непрерывна на отрезке
[;]
ab
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
b b
∫f ( x )dg ( x) =∫f ( x) g '( x)dx + f ( a)( g (a +0) −g ( a)) +
a a
(2.5.2)
m −1
+∑ f (ck )( g (ck +0) −g (ck −0)) + f (b)( g (b) −g (b −0)).
k =1
Доказательство. Введем специальные обозначения для скачков функции g ( x)
справа и слева:
α k+ =g (ck +0) −g (ck ), k =0, ..., m −1,
α k− =g (ck ) −g (ck −0), k =1, ..., m.
Для k =1, ..., m −1 имеем
α k+ +α k− =g (ck +0) −g (ck −0).
Рассмотрим вспомогательную функцию
m −1 m
g1 ( x ) =∑ α k+h( x −ck ) −∑ α k−h(ck −x),
k =0 k =1
и пусть g 2 ( x) =g ( x) −g1 ( x), так что g ( x) =g1 ( x) +g 2 ( x).
Покажем, что функция g 2 ( x) непрерывна на отрезке [a; b].
Ясно, что g 2 ( x) непрерывна для x , отличных от всех ck , поскольку для таких
x непрерывны обе функции g ( x) и g1 ( x) . Покажем, что функция g 2 ( x) непрерыв-
на и в точках ck , k =0, ..., m.
Фиксируем произвольную точку c p , p 0.
Итак, g 2 ( x) непрерывна на отрезке [a; b] .
21
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
