Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса. Ларин А.А - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
()().
b
a
fxdhcx
−
∫
Если
,
ca
=
то
()0
hax
при
.
xa
≥
Отсюда следует, что
()
fx
интегрируема по
()
hax
−
и
()()0.
b
a
fxdhax
−=
∫
Пусть теперь
.
acb
<≤
Рассмотрим произвольное разбиение
{}
0
in
i
i
x
=
=
отрезка
[;]
ab
, и пусть
1
[;],0,...,1.
iii
xxinξ
+
∈=−
Пусть , далее,
k
таково, что
1
kk
xcx
+
<≤
(см . рис. 5).
у
()
yhxc
=−
k
ξ
х
.
a
k
x
с
1
k
x
+
b
Рис. 5
Тогда
1
1
0
()(()())()(1)().
n
iiikk
i
fhcxhcxff
σξξξ
−
+
=
=−−−=⋅−=−
∑
В силу непрерывности
()
fx
в точке
c
получаем, что если
0
d
→
, то
().
fc
σ
→−
Поэтому
()
fx
интегрируема по
()
hcx
−
и
()()().
b
a
fxdhcxfc
−=−
∫
Докажем теперь следующее утверждение.
Теорема. Пусть функция
()
fx
непрерывна на отрезке
[;]
ab
, а функция
()
gx
всюду на этом отрезке, за исключением, быть может, конечного числа точек,
имеет производную
'()
gx
, которая интегрируема по Риману на
[;]
ab
. Предполо -
жим, что функция
()
gx
в конечном числе точек
01
...
m
acccb
=<<<=
может иметь разрывы первого рода. Тогда функция
()
fx
интегрируема по
()
gx
и
справедлива формула
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                                         b

                                                                                         ∫f ( x)dh(c −x).
                                                                                         a

                                            Если c =a, то h(a −x) =0 при x ≥a. Отсюда следует, что f ( x) интегрируема по
                                        h(a −x) и
                                                                                     b

                                                                                     ∫f ( x )dh(a −x) =0.
                                                                                     a

                                            Пусть теперь a

Страницы