Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса. Ларин А.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
Доказательство. Действительно, в рассматриваемом случае справедливо ра-
венство
()()'(),
x
a
gxgagtdt
=+
∫
и
()'().
tgt
ϕ
=
Рассмотрим теперь случай вычисления интеграла , когда функция
()
gx
раз-
рывна.
Введем в рассмотрение функцию
()
1,0.
если x
hx
если x
≤
=
>
(функцию
()
hx
называют функцией Хевисайда). График этой функции изображен
на рис. 1.
у
1
х
Рис. 1
Функция
()
hx
непрерывна всюду, кроме точки
0
x
=
. В точке
0
x
=
она непре-
рывна слева и разрывна справа; при этом скачок справа
(00)(0)
hh
+−
равен 1.
Рассмотрим теперь функции
()(),.
hxc
иhcxcR
−−∈
1. В точке с функция
()
hxc
−
непрерывна слева, справа – скачок, причем
(0)(0)1.
hcch
+−−=
Во всех остальных точках числовой оси
()
hxc
−
непрерывна .
Ее график изображен на рис. 2.
у
1
с
Рис. 2
2. В точке с функция
()
hcx
−
непрерывна справа, слева – скачок, равный - 1.
Во всех остальных точках числовой оси
()
hcx
−
непрерывна . Ее график изобра-
жен на рис. 3.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                          Доказательство. Действительно, в рассматриваемом случае справедливо ра-
                                       венство
                                                                                             x
                                                                        g ( x) =g (a) +∫g '(t )dt ,
                                                                                             a

                                                                                         и
                                                                               ϕ(t ) =g '(t ).
                                          Рассмотрим теперь случай вычисления интеграла, когда функция g ( x) раз-
                                       рывна.
                                          Введем в рассмотрение функцию
                                                                                �� 0, если x ≤0,
                                                                        h( x) =�
                                                                                  � 1, если x >0.

                                       (функцию h( x) называют функцией Хевисайда). График этой функции изображен
                                       на рис. 1.

                                                                                     у



                                                                               1

                                                                                                      х

                                                                               Рис. 1

                                           Функция h( x) непрерывна всюду, кроме точки x =0 . В точке x =0 она непре-
                                       рывна слева и разрывна справа; при этом скачок справа h(0 +0) −h(0) равен 1.
                                           Рассмотрим теперь функции h( x −c) и h(c −x), c ∈R.
                                           1. В точке с функция h( x −c) непрерывна слева, справа – скачок, причем
                                       h(c +0 −c) −h(0) =1. Во всех остальных точках числовой оси h( x −c) непрерывна.
                                       Ее график изображен на рис. 2.

                                                                                у



                                                                           1

                                                                                                 с
                                                                          Рис. 2

                                          2. В точке с функция h(c −x) непрерывна справа, слева – скачок, равный - 1.
                                       Во всех остальных точках числовой оси h(c −x) непрерывна. Ее график изобра-
                                       жен на рис. 3.

                                                                                    18




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы