Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса. Ларин А.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
7. Теорема о среднем.
Пусть на отрезке
[;]
ab
функция
()
fx
ограничена:
(),
mfxM
≤≤
а
gx
возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса
I
от
()
fx
по
()
gx
, то
имеет место формула
()()(()()),
b
a
Ifxdgxgbga
µ==−
∫
(2.4.2)
где
mM
µ
≤≤
.
Доказательство. Очевидно, что для любой стилтьесовой суммы
σ
выполняет-
ся неравенство
(()())(()()).
mgbgaMgbga
σ
−≤≤−
Переходя в этом неравенстве к пределу , получим, что
(()())(()()).
mgbgaIMgbga
−≤≤−
(2.4.3)
Если
()(),
gbga
=
то из (2.4.3) следует, что
0,
I
=
и потому равенство (2.4.2) верно с
произвольным
.
R
µ
∈
Пусть теперь
()(),
gbga
>
тогда из (2.4.3) следует, что
(()()).
mIgbgaM
≤−≤
Полагая
(()()),
Igbga
µ
=−
получим требуемое соотношение (2.4.2).
8. Оценка интеграла Стилтьеса .
Пусть функция
()
fx
непрерывна, а функция
gx
имеет ограниченное изме-
нение на отрезке
[;]
ab
. В этом случае справедлива оценка
()(),
b
a
fxdgxMV
≤
∫
(2.4.4)
где
max(),().
b
axb
a
MfxVgx
V
≤≤
==
Доказательство. Действительно, для любой суммы Стилтьеса имеет место
неравенство
1
()()()()()(),
iiiiii
iii
fgxfgxMgxgxMV
σξξ
+
=∆≤⋅∆≤−≤
∑∑∑
из которого , используя предельный переход , получаем оценку (2.4.4).
2.5. Вычисление интегралов Стилтьеса .
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пусть функция
()
fx
интегрируема по Риману на отрезке
[;]
ab
, а
функция
gx
имеет вид
()(),
x
a
gxCtdt
ϕ=+
∫
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                          7. Теорема о среднем.
                                          Пусть на отрезке [a; b] функция f ( x) ограничена:
                                                                                       m ≤ f ( x) ≤M ,
                                       а g ( x) возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса I от f ( x) по g ( x) , то
                                       имеет место формула
                                                                               b
                                                                           I =∫f ( x)dg ( x) =µ ( g (b) −g (a)),                  (2.4.2)
                                                                               a

                                       где m ≤µ ≤M .
                                           Доказательство. Очевидно, что для любой стилтьесовой суммы σ выполняет-
                                       ся неравенство
                                                                       m( g (b) −g (a)) ≤σ ≤M ( g (b) −g (a)).

                                       Переходя в этом неравенстве к пределу, получим, что

                                                                       m( g (b) −g (a)) ≤I ≤M ( g (b) −g (a )).                       (2.4.3)

                                       Если g (b) =g (a), то из (2.4.3) следует, что I =0, и потому равенство (2.4.2) верно с
                                       произвольным µ ∈ R. Пусть теперь g (b) > g (a), тогда из (2.4.3) следует, что

                                                                              m ≤I ( g (b) −g (a)) ≤M .

                                       Полагая µ =I ( g (b) −g (a)), получим требуемое соотношение (2.4.2).

                                          8. Оценка интеграла Стилтьеса.
                                          Пусть функция f ( x) непрерывна, а функция g ( x) имеет ограниченное изме-
                                       нение на отрезке [a; b] . В этом случае справедлива оценка
                                                                                   b

                                                                                   ∫f ( x)dg ( x) ≤MV ,
                                                                                   a
                                                                                                                                      (2.4.4)

                                       где
                                                                                                     b
                                                                          M =max f ( x) , V =V g ( x).
                                                                               a ≤x ≤b
                                                                                                     a

                                          Доказательство. Действительно, для любой суммы Стилтьеса имеет место
                                       неравенство
                                                     σ = ∑ f (ξi )∆g ( xi ) ≤∑ f (ξi ) ⋅ ∆g ( xi ) ≤M ∑ g ( xi +1 ) −g ( xi ) ≤MV ,
                                                           i                   i                          i

                                       из которого, используя предельный переход, получаем оценку (2.4.4).

                                          2.5. Вычисление интегралов Стилтьеса.
                                          Справедливо следующее утверждение.
                                          Теорема. Пусть функция f ( x) интегрируема по Риману на отрезке [a; b] , а
                                       функция g ( x) имеет вид
                                                                                           x
                                                                           g ( x) =C +∫ϕ (t )dt ,
                                                                                           a


                                                                                           16




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы