Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса. Ларин А.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
интегрируема по Риману на отрезке
[;]
ab
, то интеграл
()()
b
a
fxdgx
∫
существует.
2.4.Свойства интеграла Стилтьеса .
Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают следующие
его свойства.
1.
()()();
b
a
dgxgbga
=−
∫
2.
1212
(()())()()()()();
bbb
aaa
±=±
∫∫∫
3.
1212
()(()())()()()();
bbb
aaa
fxdgxgxfxdgxfxdgx
±=±
∫∫∫
4.
()(())()(),,.
bb
aa
kfxdlgxklfxdgxklconst
==
∫∫
При этом в случаях 2, 3, 4 из существования интегралов в правой части вы -
текает существование интеграла в левой части .
5. Пусть существует интеграл
()()
b
a
fxdgx
∫
и пусть
c
- произвольная точка
интервала
(;).
ab
Тогда существует каждый из интегралов
()(),
c
a
fxdgx
∫
()()
b
c
fxdgx
∫
и верно равенство
()()()()()().
bcb
aac
fxdgxfxdgxfxdgx
=+
∫∫∫
Доказательство этого утверждения можно найти в [1, стр . 95].
Замечание. Можно показать , что из существования обоих интегралов
()(),
c
a
fxdgx
∫
()()
b
c
fxdgx
∫
вообще говоря, не вытекает существование интеграла
()()
b
a
fxdgx
∫
. Соответствующий пример легко может быть построен (см ., например ,
[1, стр . 97]).
6. Для интегралов Стилтьеса имеет место формула
()()()()|()(),
bb
b
a
aa
fxdgxfxgxgxdfx
=−
∫∫
в предположении, что существует один из этих интегралов ; другой интеграл то-
гда также существует. Приведенная формула носит название формулы интегри-
рования по частям .
Доказательство. Пусть существует, например , интеграл
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                                                                              b
                                       интегрируема по Риману на отрезке [a; b] , то интеграл                                 ∫f ( x)dg ( x)   существует.
                                                                                                                              a



                                              2.4.Свойства интеграла Стилтьеса.

                                            Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают следующие
                                       его свойства.
                                                   b
                                              1. ∫dg ( x) =g (b) −g (a);
                                                    a
                                                   b                               b                  b
                                              2. ∫( f1 ( x) ± f2 ( x))dg ( x) =∫f1 ( x)dg ( x) ±∫f 2 ( x)dg ( x);
                                                   a                               a                  a
                                                    b                                   b                 b
                                              3.   ∫f ( x)d ( g ( x) ±g
                                                   a
                                                              1           2   ( x)) =∫f ( x)dg1 ( x) ±∫f ( x)dg 2 ( x);
                                                                                        a                 a
                                                   b                           b
                                              4. ∫kf ( x)d (lg ( x)) =kl ∫f ( x)dg ( x), k , l =const.
                                                   a                           a

                                           При этом в случаях 2, 3, 4 из существования интегралов в правой части вы-
                                       текает существование интеграла в левой части.
                                                                                                  b
                                              5. Пусть существует интеграл                       ∫f ( x)dg ( x)     и пусть c - произвольная точка
                                                                                                  a

                                       интервала (a; b). Тогда существует каждый из интегралов
                                                                                    c                     b

                                                                                   ∫f ( x)dg ( x),
                                                                                   a
                                                                                                          ∫f ( x)dg ( x)
                                                                                                          c

                                        и верно равенство
                                                                         b                   c                  b

                                                                         ∫f ( x)dg ( x) =∫f ( x)dg ( x) +∫f ( x)dg ( x).
                                                                         a                   a                  c

                                            Доказательство этого утверждения можно найти в [1, стр. 95].
                                            Замечание. Можно показать, что из существования обоих интегралов
                                        c                b

                                        ∫f ( x)dg ( x), ∫f ( x)dg ( x)       вообще говоря, не вытекает существование интеграла
                                        a                c
                                        b

                                        ∫f ( x)dg ( x) . Соответствующий пример легко может быть построен (см., например,
                                        a

                                       [1, стр. 97]).

                                            6. Для интегралов Стилтьеса имеет место формула
                                                                                   b                                    b

                                                                                   ∫f ( x)dg ( x) = f ( x) g ( x) | −∫g ( x)df ( x),
                                                                                                                    b
                                                                                                                    a
                                                                                   a                                    a

                                       в предположении, что существует один из этих интегралов; другой интеграл то-
                                       гда также существует. Приведенная формула носит название формулы интегри-
                                       рования по частям.
                                            Доказательство. Пусть существует, например, интеграл



                                                                                                          14




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы