ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12
1
0
0
lim()0
n
ii
d
i
gxϖ
−
→
=
∆=
∑
,
где
i
ϖ
есть колебание функции
()
fx
на отрезке
1
[,]
iI
xx
+
.
Доказательство теоремы проводится по той же схеме, что и в случае инте-
грала Римана.
2.3.Случаи существования интеграла Стилтьеса .
В этом пункте будут установлены важные парные классы функций
()
fx
и
()
gx
, для которых интеграл Стилтьеса существует.
1. Если функция
()
fx
непрерывна , а функция
()
gx
имеет ограниченное изме-
нение, то интеграл Стилтьеса
()()
b
a
fxdgx
∫
существует.
Доказательство. Предположим сначала , что
()
gx
- строго возрастающая
функция. Фиксируем произвольное
0
ε
>
. Так как
()
fx
равномерно непрерывна
на отрезке
[;]
ab
, то найдется
0
δ
>
такое, что колебание функции
()
fx
на любом
отрезке с длиной, меньшей, чем
δ
, будет меньше, чем
(()())
gbga
ε −
. Пусть те-
перь
0
{}
in
ii
x
=
=
- произвольное разбиение отрезка
[;]
ab
с диаметром d
δ
<
. Тогда
11
1
00
()(()())
()()
nn
iiii
ii
gxgxgx
gbga
ε
ϖε
−−
+
==
∆<−=
−
∑∑
,
так что условие
1
0
0
lim()0
n
ii
d
i
gxϖ
−
→
=
∆=
∑
выполнено.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть функция
()
gx
имеет ограниченное
изменение на отрезке
[;]
ab
. Представим ее в виде
12
()()(),
gxgxgx
=−
где
1
()
gx
и
2
()
gx
- строго возрастающие ограниченные функции. Пусть
0
{}
in
ii
x
=
=
- произвольное
разбиение отрезка
[;]
ab
. Запишем сумму
σ
в виде
111
1212
000
()()()()()().
nnn
iiiiii
iii
fgxfgxfgx
σξξξσσ
−−−
===
=∆=∆−∆=−
∑∑∑
Так как при
0
d
→
суммы
1
σ
и
2
σ
стремятся к конечным пределам, то существует
конечный предел и суммы
σ
.
2. Если функция
()
fx
интегрируема на отрезке
[;]
ab
по Риману, а
()
gx
удов -
летворяет условию Липшица, так что
212112
()()(),,,
gxgxLxxLconstaxxb
−≤−=≤<≤
то интеграл
()()
b
a
fxdgx
∫
существует.
Доказательство. Предположим сначала , что
()
gx
возрастает на промежутке
[;]
ab
. Тогда для любого разбиения
0
{}
in
ii
x
=
=
отрезка
[;]
ab
имеем
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
n −1
lim ∑ ϖi ∆g ( xi ) =0 ,
d→ 0
i =0
где ϖi есть колебание функции f ( x) на отрезке [ xi , xI +1 ] .
Доказательство теоремы проводится по той же схеме, что и в случае инте-
грала Римана.
2.3.Случаи существования интеграла Стилтьеса.
В этом пункте будут установлены важные парные классы функций f ( x) и
g ( x) , для которых интеграл Стилтьеса существует.
1. Если функция f ( x) непрерывна, а функция g ( x) имеет ограниченное изме-
b
нение, то интеграл Стилтьеса ∫f ( x)dg ( x) существует.
a
Доказательство. Предположим сначала, что g ( x) - строго возрастающая
функция. Фиксируем произвольное ε >0 . Так как f ( x) равномерно непрерывна
на отрезке [a; b] , то найдется δ >0 такое, что колебание функции f ( x) на любом
отрезке с длиной, меньшей, чем δ , будет меньше, чем ε ( g (b) −g (a )) . Пусть те-
перь {xi }ii==n0 - произвольное разбиение отрезка [a; b] с диаметром d <δ . Тогда
n −1 n −1
ε
∑ ϖ ∆g ( x ) < g (b) −g (a) ∑ ( g ( x
i =0
i i
i =0
i +1 ) −g ( xi )) =ε ,
так что условие
n −1
lim ∑ ϖi ∆g ( xi ) =0
d→ 0
i =0
выполнено.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть функция g ( x) имеет ограниченное
изменение на отрезке [a; b] . Представим ее в виде g ( x) =g1 ( x) −g2 ( x), где g1 ( x) и
g 2 ( x) - строго возрастающие ограниченные функции. Пусть {xi }ii ==0n - произвольное
разбиение отрезка [a; b] . Запишем сумму σ в виде
n −1 n −1 n −1
σ =∑ f (ξi )∆g ( xi ) =∑ f (ξi )∆g1 ( xi ) −∑ f (ξi )∆g2 ( xi ) =σ1 −σ 2 .
i =0 i =0 i =0
Так как при d → 0 суммы σ1 и σ 2 стремятся к конечным пределам, то существует
конечный предел и суммы σ .
2. Если функция f ( x) интегрируема на отрезке [a; b] по Риману, а g ( x) удов-
летворяет условию Липшица, так что
g ( x2 ) −g ( x1 ) ≤L( x2 −x1 ), L =const , a ≤x1 
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
