Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса. Ларин А.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
то есть
('')(')('')(').
fxfxFxFx
−≤−
Поэтому функция
()
Fx
есть мажоранта для
()
fx
. В силу предыдущей теоремы
()
fx
имеет ограниченное изменение в
X
. Теорема доказана.
Замечание. Функции
()
gx
и
hx
из представления функции
()
fx
с ограни -
ченным изменением можно считать строго возрастающими. Действительно, если
это не так, то можно положить
1
1
()(),
()(),
gxgxarctgx
hxhxarctgx
=+
=+
при этом
11
()()()
gxhxfx
−=
.
2. Интеграл Стилтьеса .
2.1. Определение интеграла Стилтьеса .
Интеграл Стилтьеса является непосредственным обобщением определенного
интеграла Римана. Определяется он следующим образом .
Пусть на отрезке
[;]
ab
заданы две ограниченные функции
()
fx
и
()
gx
. Разо -
бьем отрезок
[;]
ab
на части точками деления
012
...
n
axxxxb
=<<<<=
и положим
max
i
i
dx
=∆
, где
1
,0,1,...,1
kkk
xxxkn
+
∆=−=−
. Выберем на каждом отрезке
1
[,],0,1,...,1
iI
xxin
+
=−
, произвольным образом точку
i
ξ
и составим сумму
1
0
()(),
n
ii
i
fgx
σξ
−
=
=∆
∑
(2.1.1)
где
1
()()(),0,1,...,1
iii
gxgxgxin
+
∆=−=−
Сумма (2.1.1) носит название интегральной суммы Стилтьеса .
Число
I
называется пределом сумм
σ
при
0
d
→
, если для любого
0
ε
су-
ществует число
0
δ
>
такое , что для любого разбиения отрезка
[;]
ab
с диаметром
d
δ
<
при любом выборе промежуточных точек
1
[;]
iii
xx
ξ
+
∈
выполняется неравен-
ство I
σε
−<
.
Конечный предел сумм
σ
при
0
d
→
, если он существует, называется инте-
гралом Стилтьеса функции
()
fx
по функции
()
gx
и обозначается символом
()()
b
a
fxdgx
∫
(2.1.2).
Таким образом ,
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                       то есть
                                                                           f ( x '') − f ( x ') ≤F ( x '') −F ( x ').


                                       Поэтому функция F ( x) есть мажоранта для f ( x) . В силу предыдущей теоремы
                                        f ( x) имеет ограниченное изменение в X . Теорема доказана.
                                             Замечание. Функции g ( x) и h( x) из представления функции f ( x) с ограни-
                                       ченным изменением можно считать строго возрастающими. Действительно, если
                                       это не так, то можно положить

                                                                                 g1 ( x) =g ( x) +arctgx,
                                                                                 h1 ( x) =h( x) +arctgx,

                                       при этом
                                                                                    g1 ( x) −h1 ( x) =f ( x) .



                                           2. Интеграл Стилтьеса.

                                           2.1. Определение интеграла Стилтьеса.

                                           Интеграл Стилтьеса является непосредственным обобщением определенного
                                       интеграла Римана. Определяется он следующим образом.
                                           Пусть на отрезке [a; b] заданы две ограниченные функции f ( x) и g ( x) . Разо-
                                       бьем отрезок [a; b] на части точками деления a =x0 0 су-
                                       ществует число δ >0 такое, что для любого разбиения отрезка [a; b] с диаметром
                                       d <δ при любом выборе промежуточных точек ξi ∈[ xi ; xi +1 ] выполняется неравен-
                                       ство σ −I <ε .
                                            Конечный предел сумм σ при d → 0 , если он существует, называется инте-
                                       гралом Стилтьеса функции f ( x) по функции g ( x) и обозначается символом

                                                                             b

                                                                             ∫f ( x)dg ( x)
                                                                             a
                                                                                                                        (2.1.2).


                                             Таким образом,

                                                                                           10




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы