ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22
Далее, в любой точке
x
, в которой
()
gx
имеет производную , функция
2
()
gx
также имеет производную , так как
1
()
gx
постоянна в некоторой окрестности точ-
ки
x
; при этом
'
2
()'().
gxgx
=
По уже доказанному имеем
'
22
()()()()()'().
bbb
aaa
fxdgxfxgxdxfxgxdx
==
∫∫∫
(2.5.3)
Далее,
1
1
01
1
01
1
1
()()()()()()
()(())()((0)())
()((0)(0))()(()(0)).
bbb
mm
kkkk
kk
aaa
mm
kkkk
kk
m
kkk
k
fxdgxfxdhxcfxdhcx
fcfcfagaga
fcgcgcfbgbgb
αα
αα
−
+−
==
−
+−
==
−
=
=−−−=
=−−=+−+
++−−+−−
∑∑
∫∫∫
∑∑
∑
(2.5.4)
Интеграл в левой части формулы (2.5.4) существует, поскольку существуют все
интегралы вида
()(),()().
bb
kk
aa
fxdhxcfxdhcx
−−
∫∫
(см . п. 2.4). Далее, поскольку
()
fx
интегрируема и по
1
()
gx
, и по
2
()
gx
, то
()
fx
интегрируема и по
12
()()().
gxgxgx
+=
Складывая равенства (2.5.3) и (2.5.4), полу -
чим соотношение (2.5.2).
Теорема доказана.
Приведем примеры вычисления интеграла Стилтьеса .
Пример 1. Вычислить интеграл Стилтьеса
3
1
(),
xdgx
−
∫
0,1,
()1,12,
1,23.
если x
где gx если x
если x
=−
=−<<
−≤≤
Решение. Функция
()
gx
имеет скачок 1 при
1
x
=−
и скачок –2 при
2
x
=
; в ос-
тальных точках
'()0
gx
=
. Поэтому
3
1
()(1)12(2)5.
xdgx
−
=−⋅+⋅−=−
∫
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Далее, в любой точке x , в которой g ( x) имеет производную, функция g 2 ( x)
также имеет производную, так как g1 ( x) постоянна в некоторой окрестности точ-
ки x ; при этом
g 2' ( x) =g '( x).
По уже доказанному имеем
b b b
∫f ( x)dg 2 ( x) =∫f ( x) g 2 ( x)dx =∫f ( x) g '( x)dx.
'
(2.5.3)
a a a
Далее,
b m −1 b m b
∫f ( x)dg ( x) =∑ α ∫f ( x)dh( x −c ) −∑ α k−∫f ( x) dh(ck −x) =
+
1 k k
a k =0 a k =1 a
m −1 m
=∑ α f (ck ) −∑ α ( −f (ck )) =f (a)( g (a +0) −g (a)) +
+
k
−
k (2.5.4)
k =0 k =1
m −1
+∑ f (ck )( g (ck +0) −g (ck −0)) + f (b)( g (b) −g (b −0)).
k =1
Интеграл в левой части формулы (2.5.4) существует, поскольку существуют все
интегралы вида
b b
∫f ( x )dh( x −c
a
k ), ∫f ( x)dh(c
a
k −x).
(см. п. 2.4). Далее, поскольку f ( x) интегрируема и по g1 ( x) , и по g 2 ( x) , то f ( x)
интегрируема и по g1 ( x ) +g2 ( x) =g ( x). Складывая равенства (2.5.3) и (2.5.4), полу-
чим соотношение (2.5.2).
Теорема доказана.
Приведем примеры вычисления интеграла Стилтьеса.
Пример 1. Вычислить интеграл Стилтьеса
3
∫xdg ( x),
−1
� 0, если x =−1,
�
где g ( x ) =� 1, если −1 
