ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7
Доказательство. Пусть
()
fx
имеет ограниченное изменение на отрезке
[;]
ab
.
Разобьем отрезки
[;]
ac
и
[;]
cb
на части точками деления
01
...
m
ayyyc
=<<<=
и
01
...,
n
czzzb
=<<<=
соответственно. При этом точки деления
011
,,...,,,...,
mn
yyyzz
образуют некоторое разбиение отрезка
[;]
ab
. Для каждого из промежутков
[;]
ac
и
[;]
cb
составим суммы :
11
21
()(),
()().
kk
k
ll
l
Vfyfy
Vfzfz
+
+
=−
=−
∑
∑
Тогда соответствующая сумма для отрезка
[;]
ab
будет
12
VVV
=+
. Таким обра-
зом ,
12
()
b
a
VVfx
V
+≤
(1.3.1)
Поэтому
(),1,2.
b
i
a
Vfxi
V
≤=
Отсюда следует, что
()
fx
имеет ограниченную вариацию на каждом из отрез-
ков
[;]
ac
и
[;]
cb
. Выбирая теперь последовательности разбиений отрезков
[;]
ac
и
[;]
cb
таким образом , чтобы для числовых последовательностей
1
n
V
и
2
n
V
сумм ви-
да (1.1.1) выполнялись условия
12
(),(),
cb
nn
ac
VfxVfxn
VV
→→→∞
,
из неравенства (1.3.1) получим, что
()()().
cbb
aca
fxfxfx
VVV
+≤ (1.3.2)
Пусть теперь
()
fx
имеет ограниченное изменение на каждом из отрезков
[;]
ac
и
[;]
cb
. Рассмотрим произвольное разбиение
{
}
i
x
отрезка
[;]
ab
, и пусть
V
-
сумма вида (1.1.1) для этого разбиения. Если точка
c
совпадает с одной из точек
p
x
, то, используя прежние обозначения, получаем
12
()().
cb
ac
VVVfxfx
VV
=+≤+
Если же точка
c
не входит в состав точек деления, то мы ее дополнительно вве-
дем. Пусть
'
V
- сумма, отвечающая этому новому разбиению. Тогда
'
VV
≥
. В тех
же обозначениях имеем
12
'()().
cb
ac
VVVVfxfx
VV
≤=+≤+
Итак, в любом случае верно неравенство
()().
cb
ac
Vfxfx
VV
≤+ (1.3.3)
Из (1.3.3) следует, что функция
()
fx
имеет ограниченное изменение на
[;]
ab
и
верно неравенство
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Доказательство. Пусть f ( x) имеет ограниченное изменение на отрезке [a; b] .
Разобьем отрезки [a; c] и [c; b] на части точками деления a = y0 < y1 <... < ym =c и
c =z0 
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
