ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
83
Решение. Итак, необходимо найти момент инерции тела OABOAB
′′′
(назовем его
секторным цилиндром), изображенного на рис. 2. 41, а. Выделим в верхнем основании
кругового цилиндра элементарный слой толщины ,dr определяемый углом
α
и пере-
менным радиусом
r
,
Rr ≤≤0
(рис. 2. 41, б). По этому слою строится элементарная
цилиндрическая оболочка высоты
h . Масса выделенного пространственного элемента
равна
,rhdrdm
α
γ
=
где −
α
центральный угол, измеряемый в радианах ( −=
α
π
α
180
o
угол в градусах); −
γ
плотность материала данного однородного твердого тела,
3
/ ìêã
.
Момент инерции секторного цилиндра равен:
()
.
4
4
0
32
hR
drrhdmrJ
R
m
z
αγ
αγ
===
∫∫
(2.28)
Так, для
π
α
2= (случай кругового цилиндра) момент инерции равен .
4
4
hR
J
z
πγ
=
Преобразуем формулу (2.28) так, чтобы в ней содержалась масса рассматриваемого те-
ла. Масса секторного цилиндра равна: .5,0
2
Rhm
αγ
α
= Отсюда получим выражение
плотности материала тела:
,
2
2
hR
m
α
γ
α
= и тогда момент инерции секторного запишется:
.
2
1
2
RmJ
z
α
= (2.29)
Таким образом, момент инерции секторного цилиндра относительно оси z опреде-
ляется структурно по такой же формуле, что и круговой цилиндр из того же материала.
Если известна масса кругового цилиндра
m и требуется определить момент инерции
его секторного цилиндра с углом
α
, то можно это сделать следующим образом. Так как
,
2
mm
π
α
α
= то на основании формулы (2.29) получим выражение искомого момента:
.
4
2
mRJ
z
π
α
= (2.30)
Задача. Вал высоты
h
и диаметра
d
образован из двух полуцилиндров разных
плотностей
.,
21
γ
γ
Определить момент инерции этого вала.
Решение. Имеем следующие действия:
()()
,
2
1
646464
2
2121
4
4
2
4
1
21
Rmm
hR
hRhR
JJJ
z
+=+=+=+=
γγ
π
πγπγ
где
−
21
, mm массы соответствующих половинок данного цилиндрического вала.
Задание для самостоятельной работы. Цилиндрический вал составлен из трех
одинаковых частей, но различной плотности. Дано:
3
3
1
1085,7,8,0,5
м
кг
мRмh ⋅===
γ
-
плотность углеродистой стали,
−⋅=
3
3
2
1075,2
м
кг
γ
плотность алюминиевых сплавов,
−⋅=
3
3
3
105,4
ì
êã
γ
плотность титановых сплавов. Определить момент инерции вала.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
