Курс общей физики. Лазарев А.П - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
Решением данного уравнения (3) является выражение (1), что
нетрудно проверить , дифференцируя дважды (1) по времени и подставляя
в уравнение (3). При этом получим , что
.
2
0
m
k
=ω
, (4)
ω
0
называется собственной частотой колебаний .
Рассмотрим некоторые из классических гармонических
осцилляторов.
Математический маятник
Математическим маятником называют систему, состоящую из
невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешен шарик , масса
которого сосредоточена в одной точке (рис.2). В положении равновесия на
шарик действуют две силы : сила тяжести P=mg и сила натяжения нити N -
равные по величине и направленные в противоположные
стороны .
Если маятник отклонить от положения равновесия на
небольшой угол α , то он начнет совершать колебания в
вертикальной плоскости под действием составляющей
силы тяжести P
t
, которую называют тангенциальной
составляющей (нормальная составляющая силы тяжести
P
n
будет уравновешиваться силой натяжения нити N ).
Из рис.2 видно, что тангенциальная составляющая силы
тяжести
α
sin
Ρ
−
=
Ρ
t
.
Знак минус показывает, что сила , вызывающая
колебательное движение, направлена в сторону
уменьшения угла α .
Если угол α мал, то синус можно заменить самим
углом , тогда
α
α
mg
t
−
=
Ρ
−
=
Ρ
,
С другой стороны , из рис. 3 видно, что угол α можно записать через длину
дуги x и радиус
l
:
l
x
=α
,
т.е. сила , возвращающая маятник в положение равновесия, является
квазиупругой :
x
mg
Р
t
l
−=
, где
l
mg
k =
- коэффициент квазиупругой силы
Второй закон Ньютона в этом случае будет иметь следующий вид:
0
2
2
=+ x
l
mg
xd
m
. (7)
С учетом (4)
l
g
=
2
ω
, откуда
g
l
π2=Τ
. (8)
Период колебаний математического маятника при малых углах
отклонения не зависит от амплитуды колебания и от его массы , а
определяется длиной маятника и ускорением свободного падения g.
Последняя формула может явиться исходной для нахождения
ускорения свободного падения, если для данного маятника длиной l
измерить его период.
Рис.2
n
P
r
l
P
r
N
r
α
α
N
r
t
P
r
P
r
                                           19
     Реш ением данного ура внения (3) является вы ра жение (1), что
нетрудно проверить, диф ф еренцируя два жды (1) по врем ени и подста вляя
                                                                    k
вура внение (3). П ри этом получим , что                   ω0 2 =     . ,      (4)
                                                                    m
ω0     на зы ва етсясобственной ча стотой к олеба ний.
       Ра ссм отрим       нек оторы е    из       к ла ссическ их  га рм оническ их
осцилляторов.
                           М а т ема т ический ма ят н ик
      М а тем а тическ им м а ятник ом на зы ва ю т систем у, состоящ ую из
невесом ой и нера стяжим ой нити, на к оторой подвеш ен ш а рик , м а сса
к оторого сосредоточена в одной точк е (рис.2). В положении ра вновесия на
ш а рик действую тдве силы : сила тяжести P=mg и сила на тяжения нити N -
                     ра вны е по величине и на пра вленны е впротивоположны е
                     стороны .
                     Е сли м а ятник отк лонить от положения ра вновесия на
     α               небольш ой угол α, то онна чнет соверш а ть к олеба ния в
                     вертик а льной плоск ости под дей ствием соста вляю щ ей
           lr        силы тяжести Pt, к оторую на зы ва ю т та нгенциа льной
  r
 N          N        соста вляю щ ей (норм а льна я соста вляю щ а я силы тяжести
                     Pn будетура вновеш ива тьсясилой на тяжениянити N).
          r r И з рис.2 видно, что та нгенциа льна я соста вляю щ а я силы
          Pt α Pn тяжести                        Ρt = −Ρ sin α .
             r       Зна к м инус пок а зы ва ет, что сила , вы зы ва ю щ а я
   r        P
   P                 к олеба тельное движение, на пра влена в сторону
                     ум еньш енияугла α.
     Рис.2
                             Е сли угол α м а л, то синус м ожно за м енить са м им
углом , тогда             Ρt = − Ρα = − mgα ,
С другой стороны , из рис. 3 видно, что угол α м ожно за писа ть через длину
                                       x
дуги x и ра диусl :               α= ,
                                       l
т.е. сила , возвра щ а ю щ а я м а ятник в положение ра вновесия, является
                          mg            mg
к ва зиупругой : Рt = −      x ,где k =    - к оэф ф ициентк ва зиупругой силы
                           l             l
В торой за к онН ью тона вэтом случа е будетим еть следую щ ий вид:
                                   d 2 x mg
                               m        +   x = 0.                             (7)
                                   dt 2   l
                    g                                  l.
С учетом (4)    ω2 =   ,        отк уда       Τ = 2π                       (8)
                     l                                 g
       П ериод к олеба ний м а тем а тическ ого м а ятник а при м а лы х угла х
отк лонения не за висит от а м плитуды к олеба ния и от его м а ссы , а
определяетсядлиной м а ятник а и уск орением свободного па денияg.
      П оследняя ф орм ула м ожет явиться исходной для на хождения
уск орения свободного па дения, если для да нного м а ятник а длиной l
изм ерить его период.

Страницы