Курс общей физики. Лазарев А.П - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
До сих пор мы говорили о погрешностях прямых измерений ,
которые в лабораторной практике встречаются не столь часто.
Погрешности косвенных измерений
Часто для получения результата надо произвести ряд прямых
измерений величин, по которым затем расчитывается другая величина по
определенной формуле. Зная погрешности отдельных измерений величин,
входящих в формулу для определения искомого результата , необходимо
определить и погрешность самого результата . Для нахождения
абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений удобно
пользоваться следующими правилами:
1) средние абсолютные ошибки можно находить по правилам
дифференцирования, заменив значок дифференцирования (d)
значком ошибки (Δ). Знаки (+ или -) при этом надо выбирать
так, чтобы абсолютная ошибка была max.
2) Относительную погрешность результата можно найти
следующим образом : логарифмируем исходное выражение, а
затем его дифференцируем , заменяя в конечном итоге значки d
на значок Δ . Знаки + и – выбираем таким образом , чтобы
абсолютная величина относительной ошибки была бы
максимальной .
Пример. Измеряемая величина находится по формуле
3
2
2
c
ab
N = .
Величины а , b и c находятся прямыми измерениями и для них
рассчитываются Δа, Δ b, Δc. Необходимо найти абсолютную и
относительную ошибки величины N: Δ N-? E
N
-?
Найдем Δ N:
для этого вначале продифференцируем все выражение для N:
;426
222(32
)(
)2()(2
33
2
4
2
6
2323
23
2332
db
c
ab
da
c
b
dc
c
ab
c
bdbabdacdccab
c
abdccdab
dN
++=
=
⋅+⋅+
=
+
=
затем значки дифференцирования заменяем на Δ и получаем абсолютную
ошибку ΔN:
.642
433
2
c
c
ab
b
c
ab
a
c
b
∆+∆+∆=∆Ν
Теперь найдем Е , исходя из значения Δ N .
.32
2
6
2
4
2
2
3
24
2
23
3
23
32
c
c
b
b
a
a
c
ab
c
cab
ab
c
bcab
ab
c
acb ∆
+
∆
+
∆
=
∆
+
∆
+
⋅
∆
=
Ν
∆Ν
=Ε 
                                                     9
      Д о сих пор м ы говорили о погреш ностях прям ы х изм ерений,
к оторы е вла бора торной пра к тик е встреча ю тсяне столь ча сто.

                      П огреш н ост и косв ен н ы х измерен ий
      Ч а сто для получения результа та на до произвести ряд прям ы х
изм ерений величин, по к оторы м за тем ра считы ва ется друга я величина по
определенной ф орм уле. Зна я погреш ности отдельны х изм ерений величин,
входящ их в ф орм улу для определения иск ом ого результа та , необходим о
определить и погреш ность са м ого результа та . Д ля             на хождения
а бсолю тны х и относительны х погреш ностей к освенны х изм ерений удобно
пользова тьсяследую щ им и пра вила м и:
    1) средн ие а бсол ю т н ы е ош ибки мож н о н а ходит ь по пра в ил а м
        диф ф ерен циров а н ия, за мен ив зн а чок диф ф ерен циров а н ия (d)
        зн а чком ош ибки (Δ). Зн а ки (+ ил и -) при эт ом н а до в ы бира т ь
        т а к, чт обы а бсол ю т н а яош ибка бы л а max.
    2) О т н осит ел ьн ую     погреш н ост ь резул ьт а т а мож н о н а й т и
        сл едую щ им обра зом: л ога риф мируем исходн ое в ы ра ж ен ие, а
        за т ем его диф ф ерен цируем, за мен яяв кон ечн ом ит оге зн а чки d
        н а зн а чок Δ. Зн а ки + и – в ы бира ем т а ким обра зом, чт обы
        а бсол ю т н а я в ел ичин а от н осит ел ьн ой ош ибки бы л а бы
        ма ксима л ьн ой .
                                                                                           2ab 2
       П рим ер. И зм еряем а я величина на ходится по ф орм уле N =                               .
                                                                                            c3
В еличины а , b и c на ходятся прям ы м и изм ерениям и и для них
ра ссчиты ва ю тся Δ а , Δ b, Δ c. Н еобходим о на йти а бсолю тную и
относительную ош ибк и величины N:       Δ N-?    EN-?
      Н а йдем Δ N:
      дляэтого вна ча ле продиф ф еренцируем все вы ра жение дляN:
       2ab 2 d (c 3 ) + c 3d (2ab 2 )          2ab3 3c 2 dc + c 3 (2da ⋅ b 2 + 2a ⋅ 2bdb
dN =                      3 2
                                          =                              6
                                                                                           =
                     (c )                                            c
     ab 2            b2            ab
=6          dc + 2        da + 4        db;
     c4              c3            c3
за тем зна чк и диф ф еренцирова ния за м еняем на Δ и получа ем а бсолю тную
ош ибк у Δ N:

                                              b2            ab            ab
                                ∆Ν = 2             ∆a + 4        ∆b + 6        ∆c.
                                              c3            c3            c4
       Т еперь на йдем Е , исходяиз зна ченияΔ N .
               ∆Ν 2b 2 ∆ac 3     ab∆bc 3      ab 2 ∆c 3 ∆a      ∆b     ∆c
          Ε=     = 3         + 4         + 6          c =   + 2    + 3    .
               Ν c ⋅ 2ab 2        3
                                 c 2ab 2      4
                                             c 2ab  2     a     b      c

Страницы