Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 6.13 Действие импульсного возмущения:
а – импульсное возмущение; б – движение в фазовом пространстве
x(t)
t
t
1
dt
Рис. 6.14 Непрерывно действующие возмущения
2 Непрерывно действующие возмущения.
Такие возмущения действуют на систему не только в начальный момент времени, но и в после-
дующие (рис. 6.14). На первый взгляд кажется, что учет таких возмущений сделает более общими и вы-
воды, так как они имеют более общую форму, чем импульсные. Но на практике оказывается не так.
Системы, устойчивые при импульсных возмущениях, устойчивы и при непрерывных; неустойчивые при
первом типе − неустойчивы и при втором. Причиной этого является тот факт, что непрерывное возму-
щение можно представить в виде последовательности импульсов, т.е. разрезать весь график x(t) на им-
пульсы длительностью dt, поэтому в дальнейшем рассматриваются лишь импульсные возмущения.
6.5 Основные виды устойчивости
6.5.1 ОРБИТАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Вводится понятие ε-окрестности невозмущенного движения. С этой целью рассматривается траек-
тория невозмущенного движения М
0
М и строится криволинейный цилиндр радиусом ε, осью которого
является эта траектория.
Считается, что траектория возмущенного движения мало отклоняется от траектории невозмущен-
ного движения, если она целиком лежит в ε-окрестности невозмущенного движения (ε − мало). Возму-
щенное движение исходит из точки
0
M
′
(рис. 6.15).
УСТОЙЧИВОСТЬ – ЭТО СВОЙСТВО ДВИЖЕНИЯ, ИМЕЮЩЕЕ КАЧЕСТВЕННЫЙ, А НЕ
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ ХАРАКТЕР. ПОЭТОМУ ПРИ ФОРМУЛИРОВКЕ ПОНЯТИЯ УСТОЙ-
ЧИВОСТИ ВАЖНА ЛИШЬ ПРИНЦИПИАЛЬНАЯ ВОЗМОЖНОСТЬ ПОДОБРАТЬ СТОЛЬ
МАЛОЕ η, ЧТОБЫ КРИВАЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ НЕ ВЫШЛА ИЗ ε-ОК-
РЕСТНОСТИ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ПРИ ЛЮБОМ ЗНАЧЕНИИ ε. ЕСЛИ ТАКАЯ
ВОЗМОЖНОСТЬ СУЩЕСТВУЕТ, ТО ДВИЖЕНИЕ УСТОЙЧИВО, ЕСЛИ ОНА ОТСУТСТВУ-
ЕТ, ТО НЕУСТОЙЧИВО.
Говорят, система обладает орбитальной устойчивостью, если при
любом ε можно подобрать такое отличное от нуля значение η в выра-
жении
η
<
′
−
00 ii
yy
, чтобы траектория возмущенного движения не вы-
шла из ε-окрестности невозмущенного движения, то последнее назы-
вается устойчивым. Если же подобрать такое η нельзя, то невозму-
щенное движение неустойчиво.
ПОНЯТИЕ ОРБИТАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИМЕЕТ
СУЩЕСТВЕННЫЙ, ПРИНЦИПИАЛЬНЫЙ НЕДОСТАТОК, ОГ-
РАНИЧИВАЮЩИЙ ПРЕДЕЛЫ ЕГО ПРИМЕНИМОСТИ. ПРИ
ОРБИТАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕ-
НИЕ МОЖЕТ ЗНАЧИТЕЛЬНО ОТЛИЧАТЬСЯ ОТ НЕВОЗМУЩЕННОГО.
Если даже траектории и близки, но точки М и М' движутся с разными скоростями, то с течением
времени расстояние между ними может оказаться большим (рис. 6.16), т.е. если y
i
− координаты точки
М, а
My
i
′
−
′
, то при наличии орбитальной устойчивости может оказаться, что величины )(
ii
yy
′
−
станут
большими. В связи с этим вводится понятие устойчивости по Ляпунову.
y
1
y
2
y
3
0
M'
M
0
ε
M
M'
0
Рис. 6.15 К понятию
"Об
й

Страницы