Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

6.5.2 УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ
Движение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε > 0 можно указать число η =
η(ε) > 0 такое, что из неравенства )(
00
εη<
′
− yy при t = t
0
следует неравенство ε<
′
− yy для всех t > t
0
.
Смысл понятия устойчивости по Ляпунову состоит в том, что движение устойчиво, если при доста-
точно малом начальном сдвиге М'
0
от М
0
точка М' в последующем движении достаточно близка к М
(рис. 6.16). Если же подобрать такое η(ε) нельзя, то движение неустойчиво.
6.5.3 АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Под устойчивостью очень часто понимают свойство тела возвращаться в состояние равновесия, из
которого оно предварительно было выведено, например, маятник после затухающих колебаний вер-
нется к положению равновесия (рис. 6.17). Подобное определение можно ввести и для невозмущен-
ного движения.
M
y
1
y
2
y
3
0 M'
M
M
0
M
0
M'
0
Рис. 6.17 К определению асимптотической устойчивости
Если при движении в пространстве точки М и
M
′
неограниченно сближаются и разности их коор-
динат )(
ii
yy
′
−
→ 0, то возмущенное движение постепенно возвращается к невозмущенному. Такое дви-
жение называется асимптотически устойчивым.
Движение называется асимптотически устойчивым, если можно подобрать такое η, что, если
η<
′
−
00
yy
, то выполняется условие
0→
′
− yy
при t → ∞.
Понятие асимптотической устойчивости более узко, чем понятие устойчивости по Ляпунову. Если
движение асимптотически устойчиво, то оно наверняка устойчиво по Ляпунову. Но обратное утвержде-
ние, вообще говоря, несправедливо. Движение может быть устойчивым по Ляпунову, но не являться
асимптотически устойчивым.
6.6 Необходимое условие устойчивости
В п. 6.2 получено необходимое и достаточное условие устойчивости – отрицательность действи-
тельных частей корней характеристического уравнения или, что идентично, эти корни должны распо-
лагаться слева от мнимой оси.
В этих формулировках изложен не только признак устойчивости, но и дан, в сущности, метод ис-
следования устойчивости: необходимо найти корни характеристического уравнения и проверить, лежат
ли они в левой полуплоскости или нет. Однако такой метод совершенно неадекватен задаче исследова-
ния в силу следующих причин.
1 Задача определения корней характеристического уравнения просто решается только для уравне-
ний первого и второго порядка; для всех других случаев приходится пользоваться различными при-
ближенными, сравнительно громоздкими методами.
2 Для определения устойчивости необходимо знать только знаки корней, поэтому определение
корней представляет ненужную трудоемкую работу. Между тем не получают общих формул, по кото-

Страницы