Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

СЕДЛО ЯВЛЯЕТСЯ НЕУСТОЙЧИВЫМ СОСТОЯНИЕМ РАВНОВЕСИЯ, ДАЖЕ КОГДА
НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ТОЧНО СООТВЕТСТВУЮТ ТОЧКЕ НА СЕПАРАТРИСЕ, МА-
ЛЕЙШЕЕ ВОЗМУЩЕНИЕ ПРИВОДИТ К ТОМУ, ЧТО ИЗОБРАЖАЮЩАЯ ТОЧКА, ПОПАВ
НА СОСЕДНЮЮ ТРАЕКТОРИЮ, БУДЕТ НЕОГРАНИЧЕННО УДАЛЯТЬСЯ ПО НЕЙ ОТ СО-
СТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ.
6.4 Понятие устойчивости движения
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ БЫЛА СОЗДАНА В НАЧАЛЕ НАШЕГО ВЕКА
ВЕЛИКИМ РУССКИМ МАТЕМАТИКОМ АЛЕКСАНДРОМ МИХАЙЛОВИЧЕМ ЛЯПУНОВЫМ
(1857 – 1918) В СВЯЗИ С ЗАДАЧАМИ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ.
ЛЮБАЯ СИСТЕМА, БУДЬ ОНА ИДЕАЛЬНОЙ (ЕСЛИ НА НЕЕ НЕ ДЕЙСТВУЮТ НИКА-
КИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ) ИЛИ РЕАЛЬНОЙ, ОПИСЫВАЕТСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВ-
НЕНИЯМИ, РЕШЕНИЕ КОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЯЕТ ТРАЕКТОРИЮ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ.
ДВИЖЕНИЕ НАЗЫВАЕТСЯ НЕВОЗМУЩЕННЫМ, ЕСЛИ ОНО ПОЛУЧЕНО В РЕЗУЛЬ-
ТАТЕ РАССМОТРЕНИЯ ИДЕАЛИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ.
ДВИЖЕНИЕ С УЧЕТОМ ВОЗМУЩЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В РЕАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ,
НАЗЫВАЕТСЯ ВОЗМУЩЕННЫМ.
Невозмущенное движение называется устойчивым, если достаточно малые возмущения сколь
угодно мало отклоняют возмущенное движение от невозмущенного. Если же возмущенное движение
заметно отклоняется от невозмущенного при сколь угодно слабых возмущениях, то оно называется не-
устойчивым.
В теории устойчивости существуют различные понятия (термины), как то: орбитальная устойчи-
вость (устойчивость по траектории), устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость и т.д.
Прежде чем перейти к определению этих понятий, необходимо уточнить, что понимается под ма-
лыми возмущениями. Любые возмущения можно разделить на два типа.
1 Импульсные возмущения.
Возмущение называется импульсным, если оно действует в течение короткого промежутка вре-
мени (
∆
t) (рис. 6.13, а). Импульс считают мгновенным, если за время
∆
t координата не успевает за-
метно измениться. В этом случае его влияние заключается в мгновенном сдвиге изображающей точки
M
0
системы из начального положения M
0
в некоторое другое положение
0
M
′
. Траектория невозмущен-
ного движения исходит из точки M, а возмущенного – из
0
M
′
и отличается от первой (рис. 6.13, б).
Влияние импульса сказывается на всем движении системы, хотя он действовал только при времени
∆
t.
ОБОЗНАЧИМ ЧЕРЕЗ Y
I0
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ M
0
, I = 1, …, N; ЧЕРЕЗ ,
00
My
i
′
−
′
ni ,1=
.
ПРИ МАЛОМ СДВИГЕ РАЗНОСТЬ КООРДИНАТ МАЛА ПО АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЕ,
Т.Е. УДОВЛЕТВОРЯЕТ УСЛОВИЮ
η
<
′
−
00 ii
yy
,
где η – некоторое достаточно малое положительное число.
Малым возмущением называется такое импульсное возмущение, которое вызывает малый сдвиг
начального положения изображающей точки системы.
Малым возмущениям соответствуют малые η, чем меньше η, тем меньше возмущения.
t
y(t)
а)
∆
t
y
1
y
2
y
3
0
M
0
M
0
б)

Страницы