Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∫
∞
−=
0
ωsin)()ω( tdttfiiF
. (2.9)
Общее количество свойств преобразования Фурье гораздо больше, но именно приведенные выше
(2.5) – (2.9) используются при исследовании регулярных сигналов.
2.4 Спектры сигналов
Как уже было сказано, периодический сигнал представляется рядом Фурье (2.2), и структура его
спектра полностью определяется амплитудами и фазами гармоник, т.е. модулем А
n
и аргументом ϕ
n
, n = 1,
2, …
Спектр амплитуд периодического сигнала, состоящий из равноотстоящих линий, длина которых
пропорциональна амплитудам А
n
соответствующих гармоник, приведен на рис. 2.3.
Непрерывная кривая, соединяющая концы спектра, называется огибающей спектра амплитуд. На
практике часто удобна для применения комплексная форма ряда Фурье:
tin
n
n
eAtf
ω
2
1
)(
∑
∞
−∞=
=
, (2.10)
где
n
A – комплексная амплитуда,
∫
−
=
2
1
ω
)(
2
t
t
tin
n
dtetf
T
A . (2.11)
Для спектра любых периодических сигналов можно установить характерные свойства:
1 Спектры всегда дискретны, они содержат только гармоники, частоты которых кратны основной
частоте. Некоторые гармоники могут отсутствовать.
2 Чем больше период сигна-
ла Т, тем меньше интервал
T
π2
ω =
между соседними частотами и, следовательно, "гуще" спектр. При
∞→T получают непериодическую функцию, спектр которой становится сплошным, но при этом ам-
плитуды уменьшаются.
3 С уменьшением длительности импульсов τ при постоянном периоде амплитуды гармоник
уменьшаются, а спектр становится "гуще".
4 Если с уменьшением длительности прямоугольных импульсов увеличивать амплитуду по закону
T
A
1
0
= , то их последовательность будет стремиться к последовательности дельта-функций, а амплитуд-
ный спектр – к постоянному для всех частот значению
T
A
1
=
.
Для непериодических сигналов вводится понятие спектральной плотности, которая представляет
собой
ω
π)ω(
d
dA
iF =
, (2.12)
где А – бесконечно малые амплитуды непериодической функции,
∫
−
−
∞→
=
2/
2/
ω
)(
2
lim
T
T
tin
T
dtetf
T
A . (2.13)
Величину F(iω) называют также спектральной характеристикой непериодической функции, а мо-
дуль )ω()ω( FiF = – спектром.
Поскольку спектральная характеристика комплексная величина, то ее можно представить в виде
)ω(
)ω()ω()ω()ω(
ϕ−
=+=
i
eFibaiF ,

Страницы