Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 179 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Предельные циклы могут быть устойчивыми и неустойчивыми, и соответственно автоколебания – ус-
тойчивыми и неустойчивыми. Предельный цикл называется устойчивым, если фазовые траектории сна-
ружи и изнутри "наматываются на него" (рис. 11.2, а, 11.3, а). В такой системе обязательно будет на-
блюдаться автоколебательный режим.
Предельный цикл называется неустойчивым, если фазовые траектории удаляются от него с обеих
сторон, т.е. "сматываются" (рис. 11.2, б, 11.3, б).
Если начальные условия таковы, что изображающая точка находится внутри предельного цикла,
представленного на рис. 11.2, а, то она будет двигаться по фазовой траектории к нему, система ведет
себя, как неустойчивая система, особая точка – начало координат является неустойчивым фокусом. Ес-
ли же в начальный момент времени изображающая точка находится снаружи предельного цикла, то она
движется по фазовой траектории, приближаясь к нему, система ведет себя как устойчивая система. В
этом случае говорят, что рассматриваемая система неустойчива "в малом", устойчива "в большом" и
режим автоколебаний устойчивый.
Если рассматривать те же самые начальные условия, но для случая, представленного на рис. 11.2, б,
то говорят, что система устойчива "в малом" (особая точка – устойчивый фокус), неустойчива "в боль-
шом", режим автоколебаний неустойчивый.
а)
б)
устойчивый
неустойчи-
вый
y
2
y
2
y
1
y
1
Рис. 11.4 Фазовый портрет системы:
а – полуустойчивый предельный цикл; б – с двумя предельными циклами
Если начальные условия таковы, что одна фазовая траектория "наматывается" на предельный цикл,
а другая – "сматывается", то система является неустойчивой и "в малом", и "в большом". В этом случае
предельный цикл и соответственно режим автоколебаний называется полуустойчивым (рис. 11.4, а).
Система может иметь не один, а несколько предельных циклов. Система, фазовый портрет которой изо-
бражен на рис. 11.4, б, имеет два предельных цикла, один из них – внутренний устойчивый, другой –
внешний неустойчивый. Состояние равновесия одно и неустойчивое.
Другим видом особых линий, которые встречаются в нелинейных системах, являются сепаратрисы
– кривые, разделяющие области фазового портрета с различным характером фазовых траекторий. Так, в
линейных системах второго порядка при рассмотрении фазового портрета типа седло асимптоты гипер-
бол
12
yy ω±= ,
20
2
/ aa=ω , 0
1
=a и являются как раз сепаратрисами.
Типичный фазовый портрет нелинейной системы изображен на рис. 11.5. Здесь имеются следую-
щие особые точки: точка А – устойчивый фокус, точка В – неустойчивый узел и точка С – седло. В со-
ответствии с этим сепаратрисы разделяют фазовый портрет на четыре области: 1 – затухающих колеба-
ний, 2 – автоколебаний, 3 и 4 – неустойчивых апериодических процессов.
y
2
B
A
C
1
2
3
4
y
1
Рис. 11.5 Фазовый портрет нелинейной системы

Страницы