Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

00
0
21
222
111
≠
− rCC
ba
ba
.
Для решаемой задачи функцию Ляпунова рекомендуется брать в виде квадратичной формы плюс
интеграл от нелинейности
∫
σ
σσ++=σ
0
2
22
2
11
)(),( dFzBzBzV , (12.24)
где
1
B ,
2
B – некоторые положительные квадратичные коэффициенты координат
1
z и
2
z . Интеграл в
этом выражении также является положительно определенной функцией координаты σ , что легко про-
верить по виду характеристики )(σF . Таким образом, функция Ляпунова (12.24) является положительно
определенной.
Производная этой функции (12.24) в силу уравнений системы (12.23) запишется в виде
=
σ
σ++=
σ
σ+
∂
∂
+
∂
∂
=
dt
d
F
dt
dz
zB
dt
dz
zB
dt
d
F
dt
dz
z
V
dt
dz
z
V
dt
dV
)(22)(
2
22
1
11
2
2
1
1
+
σ
+
+
σ
+
= ))((2))((2
222222111111
FbzazBFbzazB
.))(()(
2211
σ−+σ+ rFzCzCF
Произведя некоторые преобразования и замену переменных
1111
2 aBC
−
=
,
2222
2 aBC −= , производная
от функции Ляпунова примет следующий вид
()()
[]
.2121)(2
)(
22221111
22
22
2
11
zCbBzCbBF
rFzCzC
dt
dV
+++σ+
+σ−−−=
(12.25)
Полученное выражение (12.25) представляет собой квадратичную форму и согласно теоремам Ля-
пунова должна быть знакоопределенной или знакопостоянной отрицательной функцией. Установим об-
ратное: при каких условиях эта производная будет положительной определенной функцией. Для этого
необходимо воспользоваться критерием Сильвестра. Так как коэффициенты
1
C и
2
C являются коэффи-
циентами положительно-определенной квадратичной формы, то неравенства критерия Сильвестра вы-
полняются. Остается потребовать, чтобы
()
()
()()
0
2121
210
210
222111
2222
1111
>
+−+−
+−
+−
rCbBCbB
CbBC
CbBC
,
отсюда
()()
02121
211
2
2222
2
111
>++−+− CrCCCbBCCbB .
ТАКИМ ОБРАЗОМ, ПОЛУЧАЕМ, ЧТО КОЭФФИЦИЕНТ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПРИВОДА
ДОЛЖЕН ВЫБИРАТЬСЯ В СООТВЕТСТВИИ С НЕРАВЕНСТВОМ
()()
2
2
222
1
2
111
1
21
1
21
C
CbB
C
CbBr +++>
. (12.26)
ЭТО И ЯВЛЯЕТСЯ ДОСТАТОЧНЫМ УСЛОВИЕМ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИ-
ВОСТИ РЕШЕНИЯ 0
1
=
z , 0
2
=
z , 0
=
σ
.
В УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕ ВОШЛИ НИКАКИЕ ПАРАМЕТРЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ХА-
РАКТЕРИСТИКИ
)(σF . СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ОНИ СПРАВЕДЛИВЫ ПРИ ЛЮБОЙ ФОРМЕ НЕ-
ЛИНЕЙНОСТИ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕЙ ОБЩИМ ТРЕБОВАНИЯМ (12.21). ТАКИЕ УСЛОВИЯ
УСТОЙЧИВОСТИ, КОТОРЫЕ НЕ ЗАВИСЯТ ОТ КОНКРЕТНОЙ ФОРМЫ НЕЛИНЕЙНОСТИ,
НАЗЫВАЮТ УСЛОВИЯМИ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ.
12.3.5 Методы построения функции Ляпунова

Страницы