Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 199 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∑
=
++χ=+++
n
i
nninniii
yAyAAyayaya
1
112211
)()( KK .
Так как
n
yyy ,,,
21
K независимые переменные, то равенство может существовать лишь при условии,
что все коэффициенты при
n
yyy ,,,
21
K тождественно равны нулю. Находим
=χ−+++
=++χ−+
=+++χ−
.0)(
...
;0)(
;0)(
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
AaAaAa
AaAaAa
AaAaAa
K
K
K
. (12.33)
Условием совместности этих
n
уравнений является равенство нулю определителя системы )0(
=
∆
,
где
χ
является корнем характеристического уравнения. Так как в общем случае их n , то можно найти n
значений для функции U , равных
n
UUU ,,,
21
K . Поскольку корни могут быть комплексными, т.е.
ijii
β+α=χ
,
ijii
β−α=χ
, то им соответствуют сопряженные значения функции
i
U и
i
U .
Составим далее функцию
n
n
UUUUUUV +++= K
2
2
1
1
, (12.34)
если
i
U окажется действительной величиной, возьмем
2
i
U
. Таким образом получаем положительно-
определенную функцию, производная по времени которой будет
i
n
i
i
i
n
i
i
U
dt
Ud
U
dt
dU
dt
dV
∑∑
==
+=
11
, (12.35)
где
dt
dy
y
U
dt
dU
i
i
ii
∂
∂
=
.
Подставляя в (12.35) значение dtdy
i
из уравнения (12.27), в конечном итоге получаем
∑
=
α=
n
i
i
ii
UU
dt
dV
1
2 , (12.36)
где
i
α – действительные части корней.
Таким образом, указан способ построения функции Ляпунова для линейной системы.
Метод Г. Сеге
Согласно этому методу функция Ляпунова записывается в виде
∑∑
=
≠
=
+=
n
i
n
ji
j
jiiijiiij
yyyayyaV
12
2
)(2)( , (12.37)
где коэффициенты
ij
a
являются функциями фазовых координат
i
y , т.е.
)(
iij
ya
.
Производная от функции Ляпунова по времени будет
.)()(
)(
2)(2
)(
12
2
++×
×++=
∑∑
=
≠
=
dt
dy
yyay
dt
dy
ya
dt
dy
yy
dy
yda
dt
dy
ya
dt
dy
y
dy
yda
dt
dV
j
iiijj
i
iij
i
ji
n
i
n
ij
j
i
iij
i
iii
i
i
i
iii
(12.38)
Работу метода Г.Сеге удобнее проследить на примере систем второго порядка. В этом случае
(12.37) примет вид
2
222221112
2
1111
)()(2)( yyayyyayyaV ++=
. (12.39)
Определению подлежат коэффициенты )(
111
ya , )(
112
ya , )(
222
ya . Принимается, что 1)(
222
=
ya , тогда
2
221112
2
1111
)(2)( yyyyayyaV ++=
,
и, следовательно, производная (12.38) записывается следующим образом

Страницы