Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 200 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.2)(2)(2
)(
2)(2
)(
2
2
2
11122
1
112
1
21
1121
111
1
2
1
1
111
d
t
dy
y
d
t
dy
yyay
d
t
dy
ya
dt
dy
yy
dt
yda
dt
dy
ya
dt
dy
y
dy
yda
dt
dV
+++
+++=
(12.40)
Так как исходная нелинейная система второго порядка записывается в виде
=
=
),,(
)(
);,(
)(
212
2
211
1
yyF
dt
tdy
yyF
dt
tdy
,
то производная от функции Ляпунова в силу этих дифференциальных уравнений будет
).,(2),()(2
),()(2),(
)(
2
),()(2),(
)(
2122211112
212111221121
1
112
2111111211
2
1
1
111
yyyyyyFya
yyFyyayyFyy
dy
yda
yyFyyayyFy
dy
yda
dt
dV
++
+++
++=
(12.41, а)
Предположим, что правая часть производной функции Ляпунова представляет собой полином второ-
го порядка относительно y
k
)()()(),(
10211
2
21221
yAyyAyyAyy ++=ψ , (12.41, б)
где
210
,, AAA – полиномы, зависящие от
1
y .
Для обеспечения устойчивости во всей области ),(
21
yy необходимо потребовать, чтобы уравнение
0),(
21
=ψ yy имело кратные корни, условием которого является равенство нулю дискриминанта:
04
02
2
1
=− AAA .
Согласно методу Г. Сеге принимается 0
12
=
=
AA и на основании этого составляется система диффе-
ренциальных уравнений для определения коэффициентов
1211
, aa :
=
=
.0)),(,
)(
(
;0)),(,
)(
(
1112
1
112
2
1111
1
111
1
yya
dy
yda
f
yya
dy
yda
f
(12.42)
Далее необходимо решить систему дифференциальных уравнений (12.42) относительно
1211
, aa .
Найденные значения коэффициентов подставляются в выражение для функции Ляпунова и ее произ-
водной, после чего проверяется знакоопределенность функции ),(
21
yyV и определяется знак производ-
ной
dtdV / . На основании полученных результатов о знакоопределенности функции ),(
21
yyV и знаке
dtdV / делается вывод об устойчивости системы автоматического управления по Ляпунову: система бу-
дет устойчивой, если получили, что
0),(
21
>yyV , а 0/
<
dtdV .
Метод Д. Шульца
Согласно этому методу функция Ляпунова записывается в виде
∫
∫∫ ∫
ξξ∇+
+ξξ∇+ξξ∇=∇=
−
2
12
0
121
00 0
2212111
,),,,,(
)0,,0,,()0,,0,(
y
nnnn
y
yy
T
dyyyV
dyVdVdyVV
K
KK
(12.43)
где V∇ – градиент функции Ляпунова, т.е.
{
}
n
yVyVV
∂
∂
∂
∂
=
∇
/,,/
1
K для системы уравнений n-го порядка,
который записывается в виде

Страницы