Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

+++
+++
+++
=∇
nnnnn
nn
nn
yayaya
yayaya
yayaya
V
K
K
K
2211
2222121
1212111
.........
(12.44)
Производная по времени от функции Ляпунова будет
d
t
dy
V
d
t
dV
T
∇= , (12.45)
где
T
V∇ – транспонированный столбец V∇ , т.е.
)./,,/,/(/
),,,(
21
22111212111
dtdydtdydtdydtdy
yayayayayayaV
n
nnnnnnn
T
K
KKK
=
++++++=∇
В такой постановке задачи о выборе функции Ляпунова определению подлежат коэффициенты
ij
a ,
при этом принимается условие, что
const==
jiij
aa
. Для определения коэффициентов записывается усло-
вие выполнения неравенства 0/ <dtdV , из которого составляется система уравнений, разрешаемая отно-
сительно
ij
a , ni ,1= ; nj ,1= . После определения коэффициентов записывается конкретное значение
функции Ляпунова и производится проверка условий 0),,,(
21
>
n
yyyV K , по результатам которой делает-
ся вывод об устойчивости рассматриваемой системы автоматического управления.
Метод Лурье – Постникова
Согласно этому методу функция Ляпунова для системы квазилинейных уравнений, т.е. уравнений,
содержащих линейную часть и аддитивно входящую нелинейность, записывается в виде:
∫
+=
y
nn
dyyfyyyVyyyV
0
21121
,)(),,,(),,,( KK (12.46)
где
),,,(
211 n
yyyV K
– функция Ляпунова для линейной части, которая, как правило, пишется в виде квад-
ратичной формы; )( yf – нелинейность, имеющая место в системе.
Анализ устойчивости сводится к конкретной записи функции Ляпунова и ее производной с после-
дующей проверкой их знаков и применением теоремы об устойчивости.
Функция Ляпунова в виде (12.46) уже была использована в разделе 12.3.4 при рассмотрении общей
методики применения теоремы Ляпунова.
12.3.6 ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
Пример 12.2 Пусть нелинейная система автоматического управления описывается нелинейным
дифференциальным уравнением второго порядка
.0)(
)()(
3
2
2
=++ ty
dt
tdy
dt
tyd
Исследовать эту систему на устойчивость вторым методом Ляпунова, используя при построении
функции Ляпунова метод Г. Сеге.
Исходное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка следует привести к системе
дифференциальных уравнений первого порядка
−−=
=
).()(
)(
);(
)(
2
3
1
1
2
1
tyty
dt
tdy
ty
dt
tdy
Согласно методу Г. Сеге функция Ляпунова имеет вид
.)(2)(
2
21112
2
1111
yyyayyaV ++=
Производная от нее с учетом системы дифференциальных уравнений

Страницы