Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 202 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.22)(2)(2)(2
)(
2)(2
)(
2
3
1
2
2
4
111221112
2
2112
2
21
1
112
211112
2
1
1
111
yyyyyayyyayya
yy
dy
yda
yyyayy
dy
yda
dt
dV
−−−−+
+++=
Образуем функцию
021
2
22
)( AyAyAy ++=ψ из производной dtdV / по степеням
2
y , сравнивая выраже-
ния dtdV / и )( yψ , получим
−+= 1)(
)(
2
1121
1
112
2
yay
dy
yda
A ;
3
111121
1
112
11111
1
111
1
2)(
)(
2)(2
)(
yyyay
dy
yda
yyay
dy
yda
A −
+−
+= ;
.)(
)(
2
4
11121
1
112
0
yyay
dy
yda
A
+−=
Для получения устойчивости во всей области
),(
21
yy необходимо, чтобы коэффициенты 0
21
=
=
AA ,
что приводит к системе дифференциальных уравнений относительно
)(
111
ya и )(
112
ya :
=+
+=+
.1)(
)(
);1(2)(2
)(
1121
1
111
2
11111
1
111
yay
dy
yda
yyay
dy
yda
Решение первого уравнения, т.е. )(
111
ya ищется в виде
.)(
2
1111
β+α= yya
Подставив это решение в уравнение, получим
.22222
2
1
2
1
2
1
yyy +=β+α+α
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях
1
y , определим значения коэффициентов
2/1=α , 1=β .
Решением второго уравнения является
γ
=
)(
112
ya ,
1
=
γ
.
Подставим найденные значения
11
a и
12
a в функцию Ляпунова и ее производную
,2
2
1
2
221
2
1
4
1
yyyyyV +++= ,2
4
1
y
d
t
dV
−=
видно, что 0/ <dtdV при любых значениях
1
y . А это и указывает на устойчивость рассматриваемой сис-
темы автоматического управления по Ляпунову.
Пример 12.3 Исследовать устойчивость нелинейной системы, динамика которой описывается
системой уравнений
+−=
−−=
,)(2
)(
;)(3
)(
112
2
112
1
yyFy
dt
tdy
yyFy
dt
tdy
используя второй метод Ляпунова и форму Д. Шульца при построении функции Ляпунова.
В соответствии с методом Д. Шульца градиент функции Ляпунова представляется в виде
.
222121
212111
α+α
α+α
=∇
yy
yy
V
Производная от функции Ляпунова ,
d
t
dV
V
d
t
dV
T
∇= или в соответствии с исходной системой
[]
[][]
.32)(2)(3
)()(
1222
2
21222111211
21121111
2
1
α+α−α+α−α−α−×
×+α−α−=
yyFyF
yyyFyFy
dt
dV
Положим 0
2112
=α=α , тогда
[]
.)(32)(
1221121
2
222
2
1111
yFyyyyyF
d
t
dV
α+α−+α−α−=
Если 0)(3
12111
=α−α− yF , то 0/ <dtdV .
Это возможно, если )(
3
1
22
11
yF
α
=α .
В соответствии с последним выражением градиент функции Ляпунова и ее производная запишутся в
виде

Страницы