Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

,
)(
3
222
11
22
α
α
=∇
y
yyF
V .2
3
)(
2
222
2
11
2
22
y
yyF
d
t
dV
α−
α
−=
Согласно формуле (12.43) получим функцию Ляпунова
∫∫
ηηα+ξξξ
α
=
21
0
22
0
22
.)(
3
yy
ddFV
Приняв 6
22
=α , запишем
∫
+ξξξ=
1
0
2
2
3)(2
y
ydFV .
Если произведение XyyF =
11
)( находится в первом и третьем квадрантах, то функция Ляпунова по-
ложительно определенна, а ее производная отрицательно определенна, т.е. 0>V , 0/ <dtdV , но это и ука-
зывает на устойчивость рассматриваемой системы.
Пример 12.4 Найти условие устойчивости нелинейной системы автоматического регулирования,
описываемой системой уравнений
β−=
=+
),(
)(
);(
)(
21
2
21
1
yFcy
dt
tdy
ybFay
dt
tdy
с помощью второго метода Ляпунова.
Функция Ляпунова записывается в соответствии с методом Лурье – Постникова в виде
∫
ξξ+α=
2
0
2
1
,)(
y
dFyV ,0>
α
производная от этой функции ),()(22
2
2
12
2
1
yFyydFay
d
t
dV
β−+α−=
где cbd 2/1+α= .
Условие отрицательной определенности
dtdV /
записывается в виде 0>
β
,
()
022/
2
<βα−+ acdb . Для
того, чтобы последнее неравенство имело положительное решение 0>
α
, необходимо и достаточно вы-
полнение неравенства bca >β , которое обеспечивает положительность обоих корней уравнения
.04/)2(
222
=+αβ−α+α cbcb
Таким образом, если bca >β , то рассматриваемая система автоматического регулирования устойчи-
ва.
12.4 Критерий абсолютной устойчивости Попова
Большие возможности для исследования устойчивости и даже качества нелинейных систем открыва-
ет предложенный в 1960 году румынским ученым Пóповым критерий абсолютной устойчивости,
особенно его геометрическая трактовка, позволяющая привлечь к исследованию рассматриваемого
класса нелинейных систем частотные методы.
Рассматривается нелинейная система, на которую действует конечного вида произвольное воздей-
ствие
)(tf , ограниченное лишь тем, что оно считается исчезающим, т.е.
0)(lim =
∞→
tf
t
(рис. 12.7).
Пусть линейная часть системы описывается передаточной функцией
)(sW , а во временной области –
весовой функцией
)(tw
, нелинейный элемент характеризуется статической характеристикой
[
]
)()( txty
Φ
=
.
f(t)
x
НЭ
W(s)
y
- z(t)
Рис. 12.7 Нелинейная система с исчезающим воздействием
Вся нелинейная система в интегральной форме описывается уравнением

Страницы