Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 205 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

т.е. действительная часть видоизмененной характеристики равна действительной части исходной, а
мнимая равна мнимой части исходной, умноженной на
ω
. Так как
(
)
0Im =
ω
iW и
()
0Im
*
=ωiW
одновре-
менно, то точки пересечения действительных характеристик совпадают. Действительная и мнимая час-
ти видоизмененной характеристики
()
ωiW
*
являются четными функциями ω. Если степень числителя
()
ωiW не выше степени знаменателя и
()
ω
iW имеет не более одного полюса в начале координат, то при
∞→ω
()
ωiW
*
Re и
()
ωiW
*
Im стремятся к конечным пределам и характеристика
()
ωiW
*
лежит в конечной
части плоскости целиком.
Пусть
(
)
(
)
() ()
,)(
;)(
***
ω+ω=ω
ω
+
ω
=
ω
jVUiW
iVUiW
тогда
()
[]
0/1)()(/1)(1Re >
+
ωαω−ω
=
+ωαω+ kVUkiWi (12.50)
или
.0/1)()(
**
>+ωα−ω kVU
Критическим случаем является случай, когда
,0/1)()(
**
=+ωα−ω kVU
который дает в координатах
**
, VU уравнение прямой линии, касающейся характеристики
(
)
ωiW
*
. Пря-
мая проходит через точку ),/1( ω− ik и имеет угловой коэффициент
α
/1 .
Когда 0/1)()(
**
>+ωα−ω kVU ,
()
ωiW
*
лежит в части плоскости, включающей начало координат, т.е.
правее прямой.
Таким образом, для абсолютной устойчивости равновесия достаточно, чтобы на плоскости видоиз-
мененной частотной характеристики
()
ωiW
*
линейной части системы можно было провести прямую че-
рез точку
()
0,/1 ik− так, чтобы
()
ωiW
*
целиком располагалась справа от этой прямой (рис. 12.9, а).
На рис. 12.9, б приведен случай, когда отделяющую прямую построить нельзя и судить об устойчи-
вости также нельзя.
Критерий Попова распространен также на системы с неустойчивой или нейтральной линейной ча-
стью. В этом случае должны выполняться условия
;0/1)()1Re(
1
>+ωαω+ kiWi ,/)( rkxxr
+
<
Φ< (12.53)
V
*
U
*
а) б)
V
*
U
*
-
1
k
-
1
k
Рис. 12.9 Геометрическая трактовка абсолютной устойчивости системы:
а – устойчивая систем; б – неустойчивая
т.е. нелинейная характеристика должна укладываться в углу, ограниченном прямыми с угловыми коэф-
фициентами
r
и rk + . При этом
r
выбирается так, чтобы )(1
ω
+
irW имела все нули в левой полуплоско-
сти, а
()
ωiW
1
- видоизмененная характеристика линейной части
.
)(1
)(
)(
1
ω+
ω
=ω
irW
iW
iW
Между критерием абсолютной устойчивости Попова и вторым методом Ляпунова существует глу-
бокая связь. Было доказано, что если выполняется условие абсолютной устойчивости Попова, то суще-
ствует типовая функция Ляпунова - квадратичная форма плюс нелинейность, причем условие
0))(Re( >ωiП является необходимым и достаточным.
Пример 12.5 Нелинейная система второго порядка имеет линейную часть, описываемую уравне-
нием

Страницы