Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 206 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.
2
1
)(
2
00
2
ω+ω+
=
shs
sW
Требуется определить, при каких значениях k система будет абсолютно устойчива, если характери-
стика нелинейного элемента лежит в секторе
(
)
k,0 .
Видоизмененная характеристика линейной части будет
() ()
.
4
2
4
)(
22
0
2
2
22
0
2
0
22
0
2
2
22
0
22
0
*
ωω+ω−ω
ωω
−
ωω+ω−ω
ω−ω
=ω
h
h
h
iW
Анализ этой характеристики показывает, что при всех
ω
мнимая часть характеристики отрицатель-
на, а это говорит о том, что вся характеристика
(
)
ωiW
*
лежит в
нижней полуплоскости (рис. 12.10).
При частотах 0
=
ω
, 1
=
ω
, ∞
=
ω
она имеет общие точки с
характеристикой )(
ω
iW .
Касательная к кривой АФХ
()
ωiW
*
в начале координат
проходит под углом
(
)
0
2arctg
ω
h к вещественной оси. Сама кри-
вая
(
)
ωiW
*
лежит правее этой касательной, поэтому всегда
можно провести прямую Попова через точку k/1− под неко-
торым углом
α
(рис. 12.10). Система абсолютно устойчива
при всех k и для всех однозначных нелинейных характери-
стик, принадлежащих сектору
(
)
∞
,0 .
12.5 Тренировочные задания
1 В нелинейных системах исследуется устойчивость движения. Различают возмущенное движение
и невозмущенное движение. Основными видами устойчивости движения являются понятия устойчиво-
сти движения по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Кроме того для нелинейных систем суще-
ствуют такие понятия, как устойчивость в "малом" и устойчивость в "большом".
Для исследования устойчивости в "малом" используется первый метод Ляпунова, который позволя-
ет судить об устойчивости нелинейной системы по линейной системе первого приближения.
А Какое движение называется возмущенным движением и какое движение называется невозму-
щенным движением?
В Какой смысл имеет понятие устойчивости движения системы по Ляпунову и чем оно отличается
от асимптотической устойчивости?
С Какие теоремы были доказаны Ляпуновым в первом методе исследования устойчивости в "ма-
лом" состояния равновесия нелинейной системы.
2 Как известно, достаточные условия устойчивости нелинейных систем дает второй метод Ляпуно-
ва, позволяющий исследовать устойчивость в "большом". Согласно этому методу в рассмотрение вводит-
ся функция )...,,,(
21 n
yyyV , заданная в фазовом пространстве и обладающая следующими свойствами: не-
прерывна со всеми своими частными производными в некоторой открытой области, содержащей начало
координат; при 0...
21
=
===
n
yyy – )...,,,(
21 n
yyyV = 0; внутри рассматриваемой области V является зна-
коопределенной функцией, т.е. 0>V или 0
<
V .
А. М. Ляпуновым были сформулированы три теоремы: об устойчивости, об асимптотической устой-
чивости и о неустойчивости. Так для доказательства асимптотической устойчивости строится и исследу-
ется производная по времени функции Ляпунова, которая в силу системы дифференциальных уравнений,
описывающих нелинейную систему, должна быть знакоопределенной функцией противоположного с V
знака.
Если найти такую функцию V удастся, то устойчивость нелинейной системы будет доказана, при-
чем устойчивость в "большом". Единого подхода к построению функции )...,,,(
21 n
yyyV не существует,
U
*
arctg 2
h
ω
0
i V
*
-
1
k
Рис. 12.10 Видоизмененная
А
ФХ

Страницы