Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 198 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ОДНОЙ ИЗ ОСНОВНЫХ ПРОБЛЕМ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ПРАКТИЧЕСКОМ ИС-
ПОЛЬЗОВАНИИ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА, ЯВЛЯЕТСЯ ВЫБОР ФУНКЦИИ ЛЯПУ-
НОВА. ОБЩЕГО МЕТОДА ВЫБОРА ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА НЕ СУЩЕСТВУЕТ, НО ВСЕ ЖЕ
ИМЕЮТСЯ НЕКОТОРЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СОСТАВЛЕНИЮ ЭТОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ
ИССЛЕДОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА СИСТЕМ. ЧАЩЕ ВСЕГО ЭТУ ФУНКЦИЮ
ВЫБИРАЮТ В ВИДЕ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ.
ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ КВАДРА-
ТИЧНЫЕ ФОРМЫ КООРДИНАТ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ НАХОДЯТСЯ СРАВНИ-
ТЕЛЬНО ЛЕГКО.
ПУСТЬ ДАНА СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
∑
=
=
n
j
jij
i
ya
dt
dy
1
, nij ...,,2,1, = (12.27)
И ПУСТЬ КОРНИ ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕВЫЕ, Т.Е. ИМЕЮТ ОТ-
РИЦАТЕЛЬНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧАСТИ.
БУДЕМ ИСКАТЬ КОЭФФИЦИЕНТЫ
ji
l
,
КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
∑∑
==
=
n
i
n
j
jiij
yylyL
11
)( ,
jiij
ll = , (12.28)
ТАК, ЧТОБЫ ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ЭТОЙ ФОРМЫ
)(2
)(
1111
yGyayl
t
y
y
L
dt
ydL
n
i
n
i
n
j
n
k
kjkjij
i
i
−=
=
∂
∂
∂
∂
=
∑∑∑∑
====
(12.29)
БЫЛА ОПРЕДЕЛЕННО-ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ.
ДЛЯ ЭТОГО, СЛЕДУЯ ЛЯПУНОВУ, ЗАДАДИМСЯ ОПРЕДЕЛЕННО-ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ
ФОРМОЙ
∑∑
==
=
n
i
n
j
jiij
yygyG
11
)( , (12.30)
С КОЭФФИЦИЕНТАМИ
jiij
gg =
.
ТАКУЮ ФОРМУ МОЖНО ВЫБРАТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ: ЗАДАЮТСЯ n ПРОИЗ-
ВОЛЬНЫМИ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
nn
ggg ...,,,
2211
И ЗАТЕМ ОПРЕДЕ-
ЛЯЮТ
...,...,,
121112 jjiiij
gggggg ==
. ТОГДА )( yG ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ПОЛНЫЙ КВАДРАТ
(
)
2
222111
...)(
nnn
ygygygyG +++=
И ЯВЛЯЕТСЯ ОПРЕДЕЛЕННО-ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ.
ЛЯПУНОВЫМ БЫЛО ДОКАЗАНО, ЧТО ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
ЧАСТЯХ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВСЕГДА МОЖНО ЕДИНСТ-
ВЕННЫМ ОБРАЗОМ ПОДОБРАТЬ КОЭФФИЦИЕНТЫ ФОРМЫ, КОТОРАЯ БУДЕТ ОПРЕ-
ДЕЛЕННО-ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ. ТАК КАК 0
<
dtdL , ТО
L
ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ ЛЯПУНО-
ВА.
ЛЯПУНОВ УКАЗАЛ СЛЕДУЮЩИЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ФУНКЦИИ V ДЛЯ ЛИНЕЙ-
НЫХ СИСТЕМ. БУДЕМ ИСКАТЬ ЛИНЕЙНУЮ ФОРМУ ПЕРЕМЕННЫХ
nn
yAyAyAU +++= ...
2211
, (12.31)
КОТОРАЯ УДОВЛЕТВОРЯЛА БЫ УСЛОВИЮ
∑
=
χ=
∂
∂
+++
n
i
i
nniii
U
y
U
yayaya
1
2211
)( K . (12.32)
Для нахождения коэффициентов
n
AAA ,,,
21
K подставим (12.31) в последнее выражение, в резуль-
тате получим

Страницы