Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

− система, которая возвращается в исходное состояние при любых начальных отклонени-
ях, называется устойчивой "в целом". Для некоторого класса систем устойчивость "в целом" на-
зывается абсолютной устойчивостью.
СЛУЧАЙ, ИЗОБРАЖЕННЫЙ НА РИС. 6.1, А, СООТВЕТСТВУЕТ УСТОЙЧИВОСТИ "В
ЦЕЛОМ", А НА РИС. 6.3, А – ЛИБО "В БОЛЬШОМ", ЛИБО "В МАЛОМ". В РАССМОТРЕН-
НОМ ПРИМЕРЕ С ШАРОМ ВОПРОС ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШАЕТСЯ ПРОСТО, НО В
ОБЩЕМ СЛУЧАЕ НЕ ВСЕГДА ЯСНО, ПРИ КАКИХ УСЛОВИЯХ РАВНОВЕСНОЕ СОСТОЯ-
НИЕ СИСТЕМЫ БУДЕТ УСТОЙЧИВО.
КАК УЖЕ НЕОДНОКРАТНО ОТМЕЧАЛОСЬ, ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕ-
СКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ОПИСЫВАЕТСЯ ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕ-
РЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (3.8) И НА-
ЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ (3.9).
Регулируемая величина y(t) представляет собой решение уравнения (3.8):
y(t) = y
св
(t) + y
вын
(t). (6.1)
ОТНОСИТЕЛЬНО СОСТАВЛЯЮЩИХ Y
СВ
(T) И Y
ВЫН
(T) РЕШЕНИЯ (6.1) ПОДРОБНО ГО-
ВОРИЛОСЬ В П. 3.4. ПРИ РАССМОТРЕНИИ ВОПРОСОВ УСТОЙЧИВОСТИ ИНТЕРЕС ВЫ-
ЗЫВАЕТ ТОЛЬКО СВОБОДНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ, ОПРЕДЕЛЯЕМАЯ ОБЩИМ РЕШЕНИ-
ЕМ ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (3.8) БЕЗ ПРАВОЙ ЧАСТИ. ФИ-
ЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЭТОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ В ТОМ, ЧТО ЭТО КАК РАЗ
ТО РЕШЕНИЕ, КОТОРОЕ ОТЛИЧНО ОТ НУЛЯ ТОЛЬКО В ТЕЧЕНИЕ ПЕРЕХОДНОГО
ПРОЦЕССА И ИСЧЕЗАЕТ ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ. ВЫНУЖДЕННАЯ СО-
СТАВЛЯЮЩАЯ ВЫХОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ВИДА ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙ-
СТВИЯ И ПРАВОЙ ЧАСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (3.8), НА УСТОЙЧИ-
ВОСТЬ СИСТЕМЫ НЕ ВЛИЯЕТ.
СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ РЕШЕНИЕМ УРАВНЕ-
НИЯ (3.8). ТАК КАК ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ ЕДИНСТВЕННОЕ РЕ-
ШЕНИЕ, ТО И СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ ЕДИНСТВЕННО.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ "УСТОЙЧИВОСТИ" ФОРМУЛИРУ-
ЕТСЯ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ. СИСТЕМА ЯВЛЯЕТСЯ УСТОЙЧИВОЙ, ЕСЛИ СВОБОД-
НАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ СТРЕМИТ-
СЯ К НУЛЮ, Т.Е.
y
св
(t) → 0 при t →∞ . (6.2)
При этом выходная координата системы будет стремиться к вынужденной составляющей, опреде-
ляемой внешним воздействием и правой частью уравнения (3.8).
Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т.е.
y
св
(t) → ∞ при t →∞ , (6.3)
то система неустойчива.
Понятие устойчивости распространяется и на более общий случай − движение системы.
6.2 Устойчивость линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами
Как известно, поведение системы после снятия возмущения, т.е. свободное движение, описывается
решением однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
a
n
y
(n)
(t) + a
n-1
y
(n-1)
(t) + ... + a
1
y'(t) + a
0
y(t) = 0 (6.4)

Страницы