Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

6.3 Изображение движений в фазовом пространстве
6.3.1 ПОНЯТИЕ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА
ПРИ РАССМОТРЕНИИ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЧРЕЗВЫЧАЙНО ПОЛЕЗНЫМ
ОКАЗАЛОСЬ ВВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НАГЛЯДНЫХ ПОНЯТИЙ И ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА. ОСНОВНЫМ ИЗ НИХ ЯВЛЯЕТСЯ ПОНЯТИЕ ФАЗОВО-
ГО ПРОСТРАНСТВА, ВВЕДЕННОЕ АКАДЕМИКОМ АНДРОНОВЫМ.
ФАЗОВЫМ ПРОСТРАНСТВОМ НАЗЫВАЕТСЯ ТАКОЕ ПРОСТРАНСТВО, В КОТОРОМ
ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ КООРДИНАТАМИ ТОЧКИ ЯВЛЯЮТСЯ ВЕЛИЧИНЫ, ОПРЕДЕ-
ЛЯЮЩИЕ МГНОВЕННОЕ СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ, НАЗЫВАЕМЫЕ ФАЗОВЫМИ КООР-
ДИНАТАМИ.
МЕТОД ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА ПРИМЕНИМ КАК ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ, ТАК И ДЛЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.
Любое дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в виде системы из n линейных
дифференциальных уравнений первого порядка:
++++=
++++=
++++=
),()(...)()(/)(
...
);()(...)()(/)(
);()(...)()(/)(
21
222221212
112121111
txtyatyatyadttdy
txtyatyatyadttdy
txtyatyatyadttdy
nnnnnnnnn
nn
nn
ОПИСЫВАЮЩЕЙ ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС ПРИ НАЛИЧИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
{}
n
xxxtx ...,,,)(
21
=
.
В КАЧЕСТВЕ ФАЗОВЫХ КООРДИНАТ ВЫБИРАЮТ ВЫХОДНУЮ КООРДИНАТУ СИС-
ТЕМЫ И ЕЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.
Точка фазового пространства (рис. 6.6), соответствующая состоянию системы в данный момент
времени t, называется изображающей точкой (М).
Изменение состояния системы во времени будет соответствовать движению изображающей точки в
фазовом пространстве по определенной траектории, которая называется фазовой траекторией.
КАЖДОМУ ПЕРЕХОДНОМУ ПРОЦЕССУ В СИСТЕМЕ СООТВЕТСТВУЕТ СВОЯ ОПРЕ-
ДЕЛЕННАЯ ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И НАОБОРОТ.
Метод фазового пространства получил наибольшее распространение при исследовании систем вто-
рого порядка. В этом случае фазовым пространством является плоскость. Система дифференциальных
урав-
нений (6.7) для системы второго порядка в общем случае записывается в виде:
=
=
).,(
)(
);,(
)(
212
2
211
1
yyf
dt
tdy
yyf
dt
tdy
(6.8)
Фазовые траектории для систем второго порядка обладают следующими свойствами.
1 В каждой точке фазовой плоскости можно провести единственную касательную к фазовой траек-
тории, т.е. через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна траектория. Исключение со-
ставляет начало координат: y
1
= 0,
y
2
= 0, которое соответствует состоянию равновесия. Уравнение состояния равновесия:
=
=
.0
)(
;0
)(
2
1
dt
tdy
dt
tdy

Страницы