Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

y
2
= f(y
1
, с
1
, с
2
), (6.12)
ГДЕ С
I
− ПОСТОЯННЫЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
ВОЗМОЖНЫ ШЕСТЬ РАЗЛИЧНЫХ СЛУЧАЕВ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ В ЗАВИСИ-
МОСТИ ОТ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ A
2
S
2
+ A
1
S + A
0
= 0.
Случай 1
Корни − мнимые при a
1
= 0, a
0
> 0, a
2
> 0: s
1,2
= +iω;
ω
=
2
0
a
a
. СИСТЕМА НАХОДИТСЯ НА ГРАНИЦЕ УСТОЙЧИВОСТИ.
Уравнение системы: a
2
y
1
"(t) + a
0
y
1
(t) = 0, его решение имеет вид
y
1
(t) = Asin(ωt + β), (6.13)
откуда
y
2
(t) = y
1
'(t) = Aω cos(ωt + β). (6.14)
График y
1
(t) показан на рис. 6.7.
Для получения уравнения фазовой траектории выражения (6.13) и (6.14) возводят в квадрат и складыва-
ют, в результате получают уравнение:
1
)(
2
2
2
2
2
1
=
ω
+
A
y
A
y
. (6.15)
Выражение (6.15) представляет собой уравнение эллипса с полуосями A и A
ω
. Задавая различные А,
получают семейство фазовых траекторий, которые нигде не пересекаются и имеют общий центр в нача-
ле координат (рис. 6.7, в).
Направление движения изображающей точки M в каждой половине фазовой плоскости определяет-
ся по знаку y
2
. При положительной величине y
1
может только увеличиваться, а при отрицательном y
2
−
уменьшаться, следовательно, движение изображающей точки на фазо-
i
ω
α
а)
б)
в)
t
y
1
y
1
y
2
= y
1
‘
A ω
A
M
0
Рис. 6.7 Фазовый портрет типа центр:
а − плоскость корней характеристического уравнения;
б − переходный процесс; в − фазовый портрет
вой плоскости происходит по часовой стрелке, поэтому незатухающим периодическим колебаниям в
системе соответствует на фазовой плоскости замкнутая фазовая траектория.
ОСОБАЯ ТОЧКА СИСТЕМЫ ЯВЛЯЕТСЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ЦЕНТРОМ ФАЗОВЫХ
ТРАЕКТОРИЙ И НОСИТ НАЗВАНИЕ ЦЕНТР, А САМА СИСТЕМА НАЗЫВАЕТСЯ КОНСЕР-
ВАТИВНОЙ (Т.Е. СИСТЕМА БЕЗ РАССЕИВАНИЯ ЭНЕРГИИ, БЕЗ ТРЕНИЯ).
Случай 2 Корни
−
комплексные и имеют отрицательные вещественные части при a
1
2
< 4а
0
a
2
; a
1
> 0, а
2
> 0, a
0
> 0:
S
1,2
= −α ± Iω (РИС. 6.8, А), α = −A
1
/2А
2
, ω = (1/2А
2
)
20
2
1
4 aaa −
− СИСТЕМА УСТОЙЧИВА.
Решение уравнения (6.9) имеет вид:

Страницы