Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

НАПРАВЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ НЕОПРЕДЕЛЕННО, ПО-
ЭТОМУ НАЧАЛО КООРДИНАТ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ СОСТОЯНИЮ РАВНОВЕСИЯ
СИСТЕМЫ, НАЗЫВАЕТСЯ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ.
2 НАПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ТРАЕКТОРИИ ОТМЕЧАЮТ СТРЕЛКАМИ. ДВИЖЕ-
НИЕ ИЗОБРАЖАЮЩЕЙ ТОЧКИ ПО ФАЗОВОЙ ТРАЕКТОРИИ ПРОИСХОДИТ ПО ЧАСО-
ВОЙ СТРЕЛКЕ ВОКРУГ НАЧАЛА КООРДИНАТ.
3 В точках y
1
= 0, y
2
= 0, т.е. в особых точках, происходит остановка движения.
4 В системах второго порядка фазовые траектории пересекают ось абсцисс под прямым углом, так
как при y
2
(t) = 0, ∞=
dt
dy
2
, а )()(
1
tyty = достигает своего максимума.
5 В верхних квадрантах координатной плоскости изображающая точка движется всегда слева на-
право, а в нижних − справа налево, так как при 0
)(
)(
1
2
>=
dt
tdy
ty
переменная y
1
(t) = y(t) возрастает, а при
0
)(
)(
1
2
<=
dt
tdy
ty
переменная y
1
(t) = y(t) убывает.
6 В любой точке фазовой плоскости, где переменная y
2
(t) и функция f
2
(y
1
, y
2
) не равны нулю, фа-
зовая траектория имеет только одно определенное направление, соответствующее производной
1
2
dy
dy
в
данной точке, откуда следует, что фазовые траектории не пересекаются.
НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ОПРЕДЕЛЯЮТ КООРДИНАТЫ
НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКИ M
0
НА ФАЗОВОЙ ТРАЕКТОРИИ.
СОВОКУПНОСТЬ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ ВСЕМ ВОЗМОЖ-
НЫМ В ДАННОЙ СИСТЕМЕ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ, НАЗЫВАЕТСЯ ФАЗОВЫМ ПОРТ-
РЕТОМ СИСТЕМЫ.
6.3.2 ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Для получения уравнений, описывающих фазовый портрет системы второго порядка, необходимо в
системе дифференциальных уравнений (6.8) второе уравнение поделить на первое и исключить из рас-
смотрения время t, в результате чего получают:
),(
),(
211
212
1
2
yyf
yyf
dy
dy
=
.
РЕШЕНИЕ ЭТОГО УРАВНЕНИЯ ДАЕТ СЕМЕЙСТВО ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ НА ФА-
ЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ, ПО КОТОРЫМ СТРОЯТСЯ ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ СИСТЕМЫ.
ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА КЛАССИФИЦИ-
РУЮТСЯ ПО ТИПАМ ОСОБЫХ ТОЧЕК.
Линейная система второго порядка описывается дифференциальным уравнением вида
,0)(
)()(
01
2
2
2
=++ tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
(6.9)
где y(t) − выходная координата системы; a
0
, a
1
, a
2
− постоянные коэффициенты.
Обозначив y(t) = y
1
(t), а )(
)(
2
1
ty
dt
tdy
=
, тогда
dt
tdy
dt
tyd )()(
2
2
1
2
=
,
и уравнение (6.9) можно записать в виде системы дифференциальных уравнений:
−−=
=
).()(
;
)(
1
2
0
2
2
12
2
1
ty
a
a
ty
a
a
dt
dy
y
dt
tdy
(6.10)
Разделив второе уравнение на первое, получают
,
2
1
2
0
2
1
1
2
y
y
a
a
a
a
dy
dy
−−=
(6.11)
РЕШЕНИЕМ КОТОРОГО БУДЕТ УРАВНЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ

Страницы