Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Y
1
(T) = АE
-ΑT
SIN(ωT + Β). (6.16)
ОТКУДА
y
2
(t) = y'(t) = γАe
-αt
сos(ωt + β + δ), (6.17)
ГДЕ
ω
α
=δ arctg
;
2
0
a
a
=γ
.
Уравнения (6.16) и (6.17) дают в фазовой плоскости параметрическое уравнение спиралей (с пара-
метром t). С каждым оборотом, соответствующим одному периоду колебаний, изображающая точка
приближается к началу координат, так как значения y
1
и y
2
за период колебаний становятся меньше, т.е.
переходный процесс имеет характер затухающих колебаний.
Особая точка называется устойчивым фокусом.
s
1
s
2
α
i
ω
а)
y
1
в)
t
y
1
б)
t
y
2
y
2
= y
1
‘
РИС. 6.8 ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ ТИПА УСТОЙЧИВЫЙ ФОКУС:
А − РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ;
Б − ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС; В − ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ
s
1
s
2
α
i
ω
а)
y
1
в)
t
y
1
б)
t
y
2
y
2
= y
1
‘
Рис. 6.9 Фазовый портрет типа неустойчивый фокус:
а
−
расположение корней характеристического уравнения;
б
−
переходный процесс; в
−
фазовый портрет
Случай 3 Корни
−
комплексные и имеют положительные вещественные части при a
2
1
< 4а
0
a
1
;
a
0
> 0, а
1
< 0, a
2
> 0: s
1,2
= α + іω.
Этот случай соответствует расходящимся колебаниям в системе, т.е. система является
неустойчивой. Решение уравнения (6.9):
y
1
(t) = Аe
αt
sin(ωt + β). (6.18)
Откуда
y
2
(t) = y'(t) = γАe
αt
сos(ωt + β + δ). (6.17)
Фазовая точка, двигаясь по фазовой траектории, неограниченно удаляется от начала координат.

Страницы