Основы теории автоматического управления - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если обозначить )()(
0
xfxfy
−
=
∆
, то получают линеари-
зованную статическую характеристику в отклонениях (рис.
10.10)
∆
∆
yax
=
, (10.8, а)
где )(
0
xfa
′
=
, или
baxy +
≈
нэ
, (10.8, б)
где
000
)()( xxfxfb
′
−
=
.
10.3.2 ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
В теории управления в большинстве случаев приходится иметь дело с неаналитическими, разрыв-
ными и неоднозначными нелинейностями. Для характеристики особенностей подобных нелинейных
элементов, как уже отмечалось выше, рассматривается прохождение через них гармонического сигнала
tAtx ω= sin)( . Если система изменяет частоту входных колебаний, то она называется частотопреобразую-
щей, если нет – нечастотопреобразующей. Далее рассматриваются нечастотопреобразующие системы. На
выходе безынерционного нелинейного нечастотопреобразующего элемента со статической характеристикой
)(
нэ
xfy = установятся периодические колебания, которые можно представить как сумму гармонических
составляющих с помощью ряда Фурье (рис. 10.11), в состав которого входят гармоники
)sin()(
1011
ϕ
+
ω
=
tCty ;
)3sin()(
3033
ϕ
+
ω
=
tCty и т.д.
Частота ω
0
называется главной частотой. Если на выходе нелинейного элемента рассматривать
только первую гармонику, а остальные во внимание не принимать, то получим некоторый линеаризо-
ванный элемент. Такую процедуру можно проделать, если будет выполняться гипотеза фильтра.
Выходной сигнал после нелинейного элемента записывается следующим образом:
∑
∞
=
ω+ω+=
1
0нэ
)cossin()(
k
kk
tkbtkaaty ,
где
∫
ωω=
0
0
0
0
)()sin(
2
T
tdtAf
T
a ;
∫
ωωω=
0
0
0
)(sin)sin(
2
T
k
tdtktAf
T
a ;
∫
ωωω=
0
0
0
)(cos)sin(
2
T
k
tdtktAf
T
b .
Согласно гипотезе фильтра все гармоники, начиная со второй, имеют достаточно малую амплитуду
по сравнению с первой гармоникой и ими можно пренебречь. Тогда уравнение вынужденных колебаний
на выходе запишется в виде
tbtaaty ω+ω+≈ cossin)(
110нэ
(10.9)
или
01нэ
)sin()( atCty +
ϕ
+ω≈ ,
где
2
1
2
11
baC += ;
1
1
arctg
a
b
=ϕ
.
Если принимать 0
0
=a , то
)sin()(
1нэ
ϕ
+ω≈ tCty . (10.10)
Таким образом, на вход подали гармонический сигнал и на выходе получили также гармонический
сигнал (10.10). Следовательно, в рассмотрение можно ввести частотные характеристики, аналогичные
частотным характеристикам линейной системы:
– амлитудно-частотная характеристика
y
нэ
y
3
y
1
x
B
- B
Рис. 10.11 Гармоническая ли-
неаризация

Страницы