ВУЗ:
Составители:
)(Re)(Re
*
ω=ω iWiW ;
)(Im)(Im
*
ωω=ω iWiW .
С Для геометрической трактовки критерия абсолютной устойчивости рассматривается плоскость ви-
доизмененной частотной характеристики )(
*
ωiW линейной части системы. Для абсолютной устойчивости
равновесия достаточно, чтобы на плоскости АФХ )(
*
ωiW можно было провести прямую через точку
)0;/1( iK− так, чтобы
)(
*
ωiW
целиком располагалась справа от этой прямой.
Раздел 13
1 А При изучении режима автоколебаний необходимо ответить на вопросы: существуют автоколеба-
ния или нет; если существуют, то устойчивы они или нет, и каковы параметры автоколебаний – частота
и амплитуда.
В В режиме мягкого возбуждения при значении
1
a , характеризующем нелинейную систему и кото-
рый можно изменять, образуется устойчивый предельный цикл бесконечно малых размеров, который на-
чинает распухать, достигая в конце концов конечных значений. При режиме жесткого возбуждения обра-
зуются как бы слипшиеся друг с другом два предельных цикла конечных размеров, один из них устойчив,
другой – нет. Дальнейшее изменение параметра
a позволяет неустойчивый предельный цикл сжать до
точки, а устойчивый будет распухать, увеличиваясь в размерах.
В обоих случаях состояние равновесия будет неустойчивым, а автоколебания – устойчивыми.
С Автоколебания будут устойчивыми, если на фазовой плоскости на соответствующий им пре-
дельный цикл фазовые траектории наматываются.
2 А Критерий Бендиксона используется для ответа на вопрос о существовании в рассматриваемой
системе режима автоколебаний. Так для нелинейной системы второго порядка, описываемой системой
дифференциальных уравнений
),(
)(
),,(
)(
212
2
211
1
yyF
dt
tdy
yyF
dt
tdy
==
,
где ),(
211
yyF , ),(
212
yyF – нелинейные аналитические функции на всей фазовой плоскости, исследуется
выражение
2
2
1
1
y
F
y
F
∂
∂
+
∂
∂
. Если это выражение знакопостоянно, то в этой области замкнутых фазовых траек-
торий не существует, т.е. не существует режима автоколебаний.
В Функция )(
1
1
2
1
yfy = называется функцией последования. Здесь
1
1
y – значение фазовой координаты
1
y при первом пересечении положительной полуоси
1
y ;
2
1
y – значение фазовой координаты
1
y при вто-
ром пересечении.
С Для определения в нелинейной системе существующего режима анализируются значения фазо-
вой координаты
1
y при ее пересечении фазовой траекторией. Если
1
1
y
,
2
1
y
– значения фазовой координа-
ты при первом и втором пересечении ее фазовой траекторией, то при
2
1
1
1
yy = на фазовой траектории бу-
дет предельный цикл, соответствующий режиму автоколебаний. Если же
2
1
1
1
yy < , то в системе будет на-
блюдаться затухающий процесс, а при
2
1
1
1
yy >
процесс в системе будет расходящимся.
3 А Для применения метода гармонического баланса линейная часть нелинейной системы должна быть
фильтром высоких частот и описываться амплитудно-фазовой характеристикой
)(
л
ωiW . Амплитудно-
частотная характеристика должна удовлетворять условию
)2()(
0л0л
ω
>>
ω
MM .
