Основы теории автоматического управления - 253 стр.

UptoLike

В При построении фазовых портретов методом сшивания фазовые траектории линейных участков
"сшиваются" желаемым образом, т.е. на границе конечные значения не принимаются за начальные для
граничащих участков. Конечные значения предыдущего участка рассчитываютсякакие получились,
такие получились, а начальные условия для последующего участка задаются желаемым образом.
С Метод "сшивания" используется при построении фазовых портретов систем с переменной струк-
турой. При переходе изображающей точки через границы заранее установленных областей, система из-
меняет свою структуру.
Раздел 12
1 А Движение называется невозмущенным, если оно получено в результате рассмотрения идеализи-
рованной системы. Движение с учетом возмущений, возникающих в реальной системе, называется воз-
мущенным.
В Смысл понятия устойчивости движения по Ляпунову состоит в том, что движение устойчиво, ес-
ли при достаточно малом начальном сдвиге точки
*
0
M от
0
M , точка
*
M в последующем движении дос-
таточно близка к
M
. Если эти точки будут неограниченно сближаться, то траектория возмущенного
движения будет возвращаться на траекторию невозмущенного движения, и тогда такое движение будет
называться асимптотически устойчивым.
С Первый метод Ляпунова включает три теоремы:
1 Если линейная система первого приближения устойчива, то соответствующее состояние равно-
весия нелинейной системы устойчиво по Ляпунову.
2 Если линейная система первого приближения неустойчива, то соответствующее состояние рав-
новесия нелинейной системы неустойчиво по Ляпунову.
3 Если линейная система первого приближения находится на границе устойчивости, то судить об
устойчивости исходной нелинейной системы по уравнениям первого приближения нельзя. Необходимо
рассматривать исходную нелинейную систему.
2 А В основе второго метода Ляпунова лежит теорема Дирихле, согласно которой равновесие устой-
чиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум.
В Для того, чтобы доказать, что нелинейная система устойчива, необходимо построить функцию
)...,,,(
21 n
yyyV , которая должна быть знакоопределенной функцией, а ее производная по времени в силу
дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, знакопостоянной функцией проти-
воположного с V знака или тождественно равна нулю.
С Второй метод Ляпунова доказывает устойчивость нелинейной системы в "большом". Для под-
тверждения этого факта рассматривается геометрическая иллюстрация. Пусть
),...,,(
21 n
yyyV знакоопре-
деленная положительная функция
0>V , тогда ей в фазовом пространстве соответствуют эллипсоиды,
причем каждый последующий содержит внутри себя целиком предыдущий. Производная по времени от
этой функции
0/ <dtdV
, что свидетельствует о том, что изображающая точка перемещается по фазовой
траектории на внутреннюю поверхность, неограниченно приближаясь к состоянию равновесия, она уже
никак не может выйти за пределы тех эллипсоидов, в которые проникла. Как только 0/
=
dtdV , то изо-
бражающая точка останавливается на соответствующей поверхности, что и доказывает устойчивость в
"большом".
3 А Абсолютной устойчивостью равновесия называется устойчивость в целом, имеющая место для
всех характеристик )(xΦ , принадлежащих определенному классу.
В Видоизмененная амплитудно-фазовая характеристика )(
*
ωiW линейной части получается из ис-
ходной )( ωiW по следующим соотношениям: