ВУЗ:
Составители:
В При построении фазовых портретов методом сшивания фазовые траектории линейных участков
"сшиваются" желаемым образом, т.е. на границе конечные значения не принимаются за начальные для
граничащих участков. Конечные значения предыдущего участка рассчитываются – какие получились,
такие получились, а начальные условия для последующего участка задаются желаемым образом.
С Метод "сшивания" используется при построении фазовых портретов систем с переменной струк-
турой. При переходе изображающей точки через границы заранее установленных областей, система из-
меняет свою структуру.
Раздел 12
1 А Движение называется невозмущенным, если оно получено в результате рассмотрения идеализи-
рованной системы. Движение с учетом возмущений, возникающих в реальной системе, называется воз-
мущенным.
В Смысл понятия устойчивости движения по Ляпунову состоит в том, что движение устойчиво, ес-
ли при достаточно малом начальном сдвиге точки
*
0
M от
0
M , точка
*
M в последующем движении дос-
таточно близка к
M
. Если эти точки будут неограниченно сближаться, то траектория возмущенного
движения будет возвращаться на траекторию невозмущенного движения, и тогда такое движение будет
называться асимптотически устойчивым.
С Первый метод Ляпунова включает три теоремы:
1 Если линейная система первого приближения устойчива, то соответствующее состояние равно-
весия нелинейной системы устойчиво по Ляпунову.
2 Если линейная система первого приближения неустойчива, то соответствующее состояние рав-
новесия нелинейной системы неустойчиво по Ляпунову.
3 Если линейная система первого приближения находится на границе устойчивости, то судить об
устойчивости исходной нелинейной системы по уравнениям первого приближения нельзя. Необходимо
рассматривать исходную нелинейную систему.
2 А В основе второго метода Ляпунова лежит теорема Дирихле, согласно которой равновесие устой-
чиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум.
В Для того, чтобы доказать, что нелинейная система устойчива, необходимо построить функцию
)...,,,(
21 n
yyyV , которая должна быть знакоопределенной функцией, а ее производная по времени в силу
дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, знакопостоянной функцией проти-
воположного с V знака или тождественно равна нулю.
С Второй метод Ляпунова доказывает устойчивость нелинейной системы в "большом". Для под-
тверждения этого факта рассматривается геометрическая иллюстрация. Пусть
),...,,(
21 n
yyyV знакоопре-
деленная положительная функция
0>V , тогда ей в фазовом пространстве соответствуют эллипсоиды,
причем каждый последующий содержит внутри себя целиком предыдущий. Производная по времени от
этой функции
0/ <dtdV
, что свидетельствует о том, что изображающая точка перемещается по фазовой
траектории на внутреннюю поверхность, неограниченно приближаясь к состоянию равновесия, она уже
никак не может выйти за пределы тех эллипсоидов, в которые проникла. Как только 0/
=
dtdV , то изо-
бражающая точка останавливается на соответствующей поверхности, что и доказывает устойчивость в
"большом".
3 А Абсолютной устойчивостью равновесия называется устойчивость в целом, имеющая место для
всех характеристик )(xΦ , принадлежащих определенному классу.
В Видоизмененная амплитудно-фазовая характеристика )(
*
ωiW линейной части получается из ис-
ходной )( ωiW по следующим соотношениям: