Основы теории автоматического управления - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

С
∫
∞
ττ)=
0
)(()( dxtwty
.
4 ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
4.1 Элементы теории функции комплексного переменного
Комплексным числом называется число, определяемое соотношением z = a + i b, где а и b – соот-
ветственно действительная и мнимая части числа. Такая форма записи комплексного числа называется
алгебраической. На комплексной плоскости, в координатах Rе (действительная часть) и Im (мнимая
часть), комплексное число геометрически представляется вектором (рис. 4.1); оно может быть изобра-
жено также в полярных координатах М (модуль) и ϕ (фаза) и записано в показательной форме: z = Ме
iϕ
,
где М – длина вектора, соединяющего начало координат с точкой z; ϕ – угол между положительной вет-
вью действительной оси и вектором z, причем положительным направлением считается направление
отсчета против часовой стрелки.
Третья форма записи комплексного числа – тригонометрическая, так как ϕ±ϕ=
ϕ±
sincos ie
i
,
ϕ±ϕ= sincos iMMz .
Все составляющие комплексного числа связаны между собой следующими соотношениями (рис. 4.1):
ϕ=ϕ==ϕ+= sin;cos;arctg;
22
MbMa
a
b
baM .
При вычислении фазы (аргумента) числа необходимо учитывать, в каком квадранте находится точ-
ка z. Ниже приводятся формулы, по которым вычисление фазы ϕ сводится к определению острого угла,
равного
z
z
Re
Im
arctg
(рис. 4.2).
I квадрант:
a
b
ibaz arctg,
11
=ϕ+= ;
II квадрант:
b
a
a
b
a
b
ibaz arctg
2
arctgarctg,
22
+
π
=−π=
−
=ϕ+−= ;
III квадрант:
b
a
a
b
a
b
ibaz arctg
2
3
arctgarctg,
33
−
π
=+π=
−
−
=ϕ−−=
;
IV квадрант:
b
a
a
b
a
b
ibaz arctg
2
3
arctgarctg,
44
+
π
=−=
−
=ϕ−=
.
Для упрощения операций над
комплексными числами полезно
знать, что
2/2/0
;;1;1
π−ππ
=−==−=
iiii
eieiee .
Над комплексными числами проводят те же арифметические операции (сложение, вычитание, ум-
ножение, деление), что и над действительными. Сложение и вычитание более удобно проводить над
комплексными числами, записанными в алгебраической форме:
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
3
ϕ
4
z
1
z
2
z
3
z
4
a
–
a
Re
Im
b
–
b
Рис. 4.2 Определение фазы в зависимости от располо-
жения вект
о

Страницы