Основы теории автоматического управления - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где
)(и)(
21
вынвын
tyty
определяются соответственно видом x
1
(t) и x
2
(t). В связи с этим решения будут ис-
каться в виде
titi
eiAWtyeiAWty
ω−ω
ω−=ω= )()(;)()(
21
вынвын
,
где W(iω), W(−iω) – некоторые неизвестные функции, не зависящие
от t, подлежащие определению.
Для нахождения W(iω)
)(
1
вын
ty
дифференцируется n раз, а x
1
(t) − m раз и подставляются в исходное
дифференциальное уравнение, в результате получают
.])(...)()([
])(...)()([)(
01
1
1
01
1
1
bibibibAe
aiaiaiaeiAW
m
m
m
m
ti
n
n
n
n
ti
+ω++ω+ω=
=+ω++ω+ωω
−
−
ω
−
−
ω
(4.15)
Полученное выражение (4.15) полностью совпадает с полученным ранее выражением (4.8) для
АФХ и еще раз подтверждает тот факт, что амплитудно-фазовая характеристика может быть получена
простой заменой переменной s на iω.
Функция W(–iω) получается аналогичным образом по формуле (4.15) заменой iω на (–iω).
Записывая полученные выражения для комплексных функций W(i
ω) и W(–iω) в показательной фор-
ме
)()(
)()(;)()(
ωϕ−ωϕ
ω=ω−ω=ω
ii
eMiWeMiW ,
частное решение уравнения (4.7) преобразуется к виду
)](cos[)(2])[()(
)()(
вын
ωϕ+ωω=+ω=
ω−ωϕ−ωωϕ
tAMeeeeAMty
tiitii
.
Сравнение y
вын
(t), описывающего установившиеся колебания на выходе объекта, с входным сигна-
лом x(t) показывает, что отношение амплитуд выходных и входных колебаний равно )(
2
)(2
ω=
ω
M
A
AM
, а
это как раз и есть амплитудно-частотная характеристика; разность фаз )()]([ ωϕ=ω−ω
ϕ
+
ω
tt − фазочастот-
ная характеристика.
С изменением частоты колебаний амплитудно- и фазочастотные характеристики изменяются по
определенному закону в зависимости от физических свойств объекта. Однако все реальные физические
системы обладают одним общим свойством, которое заключается в том, что при увеличении частоты
входных колебаний выше некоторого предела (частоты среза)
ω
ср
объект практически не реагирует на
эти колебания, т.е. амплитуда выходных колебаний равна нулю. Таким образом, для любого реального
объекта
0)(lim =ω
∞→ω
M
.
4.5 Физический смысл частотных характеристик
Физический смысл частотных характеристик устанавливается при их экспериментальном определе-
нии.
Пусть на вход линейного объекта подается гармонический сигнал вида x(t) = Asinωt. На выходе
объекта в установившемся режиме (собственное движение прекратилось) в силу принципа суперпози-
ции будет наблюдаться также гармонический сигнал с частотой, равной частоте входных колебаний,
сдвинутый относительно них по фазе и другой амплитуды (рис. 4.10), т.е. y(t) = Bsin(ωt + ϕ).

Страницы