ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
,
;
21
21
ybxb
dt
dy
yaxa
dt
dx
+=
+=
где
1
,
1
1
yx
x
P
a
∂
∂
=
,
1
,
1
2
yx
y
P
a
∂
∂
=
,
1
,
1
1
yx
x
Q
b
∂
∂
=
,
1
,
1
2
yx
y
Q
b
∂
∂
=
.
Проведем линеаризацию исходной системы в окрестности точки (0, 0), для этого рассчи-
таем коэффициенты линеаризованного уравнения:
1
1
,
1
1
−=
∂
∂
=
yx
x
P
a
; 0
1
,
1
2
=
∂
∂
=
yx
y
P
a
;
0
1
,
1
1
=
∂
∂
=
yx
x
Q
b
; 1
1
,
1
2
−=
∂
∂
=
yx
y
Q
b
.
Линеаризованная система дифференциальных уравнений в точке (0, 0) имеет вид
−=
−=
.
;
y
td
yd
x
td
xd
Первый метод Ляпунова гласит: если линеаризованная система первого приближения
устойчива, то и исходная нелинейная система устойчива; если линеаризованная система пер-
вого приближения неустойчива, то и исходная нелинейная система неустойчива; если линеа-
ризованная система первого приближения нейтральна, то относительно исходной нелиней-
ной системы сказать ничего нельзя, необходимо исследовать систему второго приближения.
Исследуем на устойчивость полученную линейную систему любым известным методом
исследования устойчивости линейных систем. Проще всего в данном случае рассчитать кор-
ни характеристического уравнения и применить необходимое и достаточно условие исследо-
вания устойчивости. Для этого составим дискриминант
0
10
01
)( =
λ+
λ+
=λD
.
Характеристическое уравнение будет – 0)1(
2
=+λ , его корни: 1
21
−
=
λ
=
λ
. Корни действи-
тельные отрицательные, а это говорит том, что система в окрестности точки (0, 0) является
устойчивой и, кроме того, состояние равновесия представляет собой устойчивый узел.
Исследуем второе состояние равновесия. Определим коэффициенты линеаризованного
уравнения в окрестности точки (0, 1).
0
2
,
2
1
=
∂
∂
=
yx
x
P
a
; 0
2
,
2
2
=
∂
∂
=
yx
y
P
a
;
0
2
,
2
1
=
∂
∂
=
yx
x
Q
b
; 1
2
,
2
2
=
∂
∂
=
yx
y
Q
b
.
Линеаризованная система в точке (0, 1) имеет вид
=
=
.
;0
y
td
yd
td
xd
Исследуем на устойчивость, полученную линеаризованную систему. Запишем ее дис-
криминант
0
10
0
)( =
−λ
λ
=λD
.
Характеристическое уравнение имеет вид – 0)1(
=
λ
−
λ
, его корни: 0
1
=
λ
; 1
2
=λ .
