ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
const
42
==
−−
= C
y
xyx
xd
yd
,
где C – задаваемая константа.
Решим полученное дифференциальное уравнение изоклины относительно y и выразим
его через x. В результате получим
xC
x
y
+
−
=
42
.
Задаваясь значениями С от –10 до 10 с шагом два, строим семейство изоклин (рис. 20).
Фазовая траектория пересекает соответствующую изоклину под углом arctg C. Произ-
вольно задается начальная точка для начала фазовой траектории. Далее, нанося на каждой
изоклине стрелки под углом arctg C, определяем качественный ход фазовой траектории, так
как стрелки определяют направление касательной к фазовой траектории. Таким образом
строится семейство фазовых траекторий, составляющих фазовый портрет.
-15 -10 -5 0 5 10 15
-15
-10
-5
0
5
10
15
Рис. 20 Фазовый портрет системы, построенный методом изоклин
Задача 6. Определить возможные состояния равновесия системы и исследовать их ус-
тойчивость первым методом Ляпунова, если она описывается системой уравнений
+−==
+−==
.),(
;),(
2
yyyxQ
td
yd
xyxyxP
td
xd
Первый метод Ляпунова исследования устойчивости нелинейных систем дает ответ об
устойчивости состояния равновесия, которое прежде всего и необходимо определить. В со-
стоянии равновесия производные равны нулю, поэтому, приравнивая нулю производные, по-
лучим систему нелинейных алгебраических уравнений для определения состояний равнове-
сия. Решим эту систему уравнений:
=+−==
=+−==
.0),(
;0),(
2
yyyxQ
td
yd
xyxyxP
td
xd
Система имеет два решения: x
1
= 0, y
1
= 0 и x
2
= 0, y
2
= 1. Найденные корни – это точки
равновесия исходной системы.
Для применения первого метода Ляпунова необходимо исходную нелинейную систему
линеаризовать методом разложения в ряд Тейлора в окрестности точек состояний равнове-
сия. В результате линеаризации получим следующую линейную систему дифференциальных
уравнений:
