Составители:
45
А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций
Глава 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.1. Общие положения
Напряженно-деформированное состояние конструкций или их
отдельных элементов описывается дифференциальными уравнения-
ми. Вид этих уравнений для каждого конкретного случая зависит от
физических и геометрических гипотез, принимаемых при моделиро-
вании поведения системы.
Напряженно-деформированное состояние балки достаточно точ-
но описывается уравнением
)()( xMxZEJ −=
′′
⋅
(1.1)
или
.)(
IV
qxZEJ =⋅
(1.1′)
Для расчета тонких изгибаемых плит используется уравнение
.
),(),(),(
4
4
22
4
4
4
D
q
y
yxz
yx
yxz
x
yxz
−=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
(1.2)
Вид дифференциального уравнения для описания напряженно-
деформированного состояния однотипных конструкций также может
быть различным. Если для простой балки достаточно уравнения (1),
то для балки на упругом основании необходимо воспользоваться бо-
лее сложным уравнением
.)()(
IV
qxZkxEJZ =⋅+
(1.3)
Решение дифференциальных уравнений напряженно-деформи-
рованного состояния в виде функции Z(x) можно получить лишь для
весьма ограниченного числа задач. В подавляющем большинстве слу-
чаев для решения подобных дифференциальных уравнений исполь-
зуются различные численные методы, результатом применения кото-
рых является не сама функция, представляющая собой решение урав-
нения, а ее приближенные значения, вычисленные в предварительно
намеченных точках, или некоторая аппроксимирующая функция в виде
математического ряда.
1.2. Методы численного решения дифференциальных
уравнений
Рассматриваются основные часто применяющиеся методы чис-
ленного решения уравнений. На примерах простых дифференциаль-
ных уравнений типа (1.1) показано, как можно использовать некото-
рые из известных методов.
Более подробно излагается метод конечных элементов, являю-
щийся основой большинства современных вычислительных программ
расчета конструкций.
1.2.1. Метод конечных разностей
Этот метод основан на конечно-разностном представлении
производных. Если на отрезке оси 0 ≤ x ≤ L построить некоторое
количество точек x
i
, i = 1, 2, ... , m, таких, чтобы x
i+1
– x
i
= ∆x, то значение
первой производной функции Z(x) можно вычислить по формулам вида
,/)(
)(
1
xZZ
dx
xdZ
ii
∆−≈
−
(1.4)
,/)(
)(
1
xZZ
dx
xdZ
ii
∆−≈
+
(1.5)
.2/)(
)(
11
xZZ
dx
xdZ
ii
∆⋅−≈
−+
(1.6)
Глава 1. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
