Численные методы расчета строительных конструкций. Лебедев А.В. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

67
А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций
Формулы (1.4)–(1.6) используются для аппроксимации производ-
ных разностями назад, вперед и центральной соответственно. Для
представления второй производной можно использовать формулу
.)2/()2(
)(
2
11
2
2
xZZZ
dx
xZd
iii
∆⋅+⋅−≈
−+
(1.7)
Для аппроксимации производных 4-го порядка воспользуемся
формулой (1.7), применив ее дважды следующим образом:
.)/(
)()(
2
)()()(
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
4
4
x
dx
xZd
dx
xZd
dx
xZd
dx
xZd
dx
d
dx
xZd
iii
∆
+⋅−=
=
−+
Подставив сюда выражение (1.7), получим
4
2112
4
4
)/()464(
)(
xZZZZZ
dx
xZd
iiiii
∆+⋅−⋅+⋅−≈
−−++
. (1.8)
Решение дифференциального уравнения методом конечных раз-
ностей рассмотрим на примере.
Пример 1. Для балки длиной L, шарнирно опертой по концам и
загруженной равномерно распределенной нагрузкой, дифференциаль-
ное уравнение имеет вид
.)(
)(
2
2
xq
dx
xMd
=
(1.9)
Найдем решение методом конечных разностей. Необходимо
учесть краевые условия в точках закрепления концов балки М(0) = 0;
М(L) = 0.
Пусть ∆x = L/4, тогда по длине балки отметим 5 точек сетки
x = (0, L/4, L/2, 3L/4, L). Так как М(0) = М(L) = 0, будем определять
значения моментов М
1
, М
2
, М
3
в точках x = (L/4, L/2, 3L/4)
соответственно. Запишем выражения (1.7) для точек 1, 2, 3:
.)/()2(
)(
2
11
2
2
xMMM
dx
xMd
mmm
m
∆+⋅−=
−+
Подставляя в (1.9) и принимая q(x) = q и L = 1, получим систему
линейных уравнений
m = 1 M
2
– 2M
1
+ M
0
– q (0,25L)
2
= 0,
m = 2 M
3
– 2M
2
+ M
1
– q (0,5L)
2
= 0,
m = 3 M
4
– 2M
3
+ M
2
– q (0,75L)
2
= 0,
откуда
М
1
= 0,094q; М
2
= 0,125q; M
3
= 0,094q.
Точное решение:
М
1
= М
3
= 0,09375q; М
2
= 0,125q.
1.2.2. Методы взвешенных невязок
Моделирование поведения системы дифференциальными урав-
нениями предполагает отыскание решения в виде функции Z(x), удов-
летворяющей граничным условиям. Если построить некоторую фун-
кцию ψ(x), принимающую на границе области те же значения, что
и функция Z(x), то можно считать, что функция y(x) и будет искомым
решением. Аппроксимацию функции Z(x) можно отыскивать в виде
∑
=
∧
⋅+ψ=≈
M
m
mm
NaZxZ
1
)(
, (1.10)
где
m
a
– неопределенные параметры;
m
N
– базисные функции, обладающие свойством
0
=
Γ
m
N
(Г – граница исследуемой области; для одномерной задачи это гра-
ничные точки, для двумерной – линия);
∧
Z
– аппроксимация функции Z.
Введем погрешность, или невязку, аппроксимации,
.
∧
ω
−= ZZR
(1.11)
Для уменьшения невязки (1.11) используется условие
,0)(
∫∫
ωω
ω
∧
=ω≡ω− dRWdZZW
ll
(1.12)
Глава 1. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

Страницы