Численные методы расчета строительных конструкций. Лебедев А.В. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

89
А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций
где
l
W
– весовые функции;
ω – область определения функций.
Запишем дифференциальное уравнение в общем виде [1]:
Α(Z) = Λ
⋅
Z + p = 0, (1.13)
где Λ – линейный дифференциальный оператор.
Решение уравнения (1.13) должно удовлетворять краевым усло-
виям
B(Z) = M
⋅
Z + r = 0, (1.14)
где B – соответствующий линейный дифференциальный оператор.
Используем для аппроксимации решения уравнения (1.13)
функции (1.10). Подставляя (1.10) в (1.13), получим невязку:
∑
+Λ⋅+ψΛ≡+Λ=≡
∧∧
pNapZZAR
vm
)()(
. (1.15)
В соответствии с методом взвешенных невязок выберем весо-
вые функции (W
l
, l = 1, 2, …) и выполним условие (1.12)
∫
∑
∫
ω
=
ω
=ω+Λ⋅+ψΛ≡ω⋅⋅
M
m
mmll
dpNaWdRW
1
.0})({
(1.16)
Выражение (1.16) при l = 1, 2,
…
, M приводит к системе линей-
ных уравнений вида
K
⋅
a = f
, (1.17)
где
∫
ω
ω⋅Λ⋅= ;
,
dNWK
mlml
(1.18)
∫∫
ωω
ωψΛ⋅−ω⋅−= ;dWdpWf
lll
ω
– область решений уравнения (1.13).
Если весовые функции в (1.16) выбираются в виде W
l
= δ(x – x
l
),
где δ(x –x
l
) = ∞ при x = x
l
и δ(x – x
l
) = 0 при ∞ ≤ x ≤ ∞ – дельта-
функция Дирака, то метод носит название метода поточечных
коллокаций.
Б. Г. Галёркиным было предложено в качестве весовых функций
W
l
выбирать сами базисные функции N
l
. Такой метод носит название
метода Бубнова – Галёркина.
Пример 2. Рассмотрим решение задачи из примера 1 методом
Бубнова – Галёркина. Дифференциальный оператор в (1.13) имеет вид
=Λ
2
2
dx
d
. Краевые условия:
М(0) = М(L) = 0.
Выберем в качестве базисных функции вида
,)( xLxN
m
m
−=
(1.19)
удовлетворяющие краевым условиям. Тогда можно построить аппрок-
симирующую функцию
∑
=
∧
⋅=≈
M
m
mm
NaZZ
1
,
и, подставляя (1.19) в (1.18), получим
,])1()1([)(
0
12
,
∫
−−
+−⋅−⋅−=
L
mml
ml
dxxmmxLmmxLxK
(1.20)
,)(
0
∫
⋅−−=
L
l
l
dxqxLxf
где L – длина балки; q – распределенная нагрузка.
Ограничиваясь значениями l,
m = 1, 2, получим
.12/;6/
;15/22;6/;3/
4
2
3
1
5
22
4
2112
3
11
LqfLqf
LKLKKLK
⋅−=⋅−=
⋅−=−===
Решение полученной системы уравнений при q = 1 и L = 1
следующее: a
1
= 0,5; a
2
= 0.
Искомая функция
ϕ = M(x) = a
1
⋅
x
(L – x) + a
2
⋅
x
2
(L – x) = L
⋅
x/2 – x
2
/2
Глава 1. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

Страницы