Численные методы расчета строительных конструкций. Лебедев А.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

12 13
А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций
Работа внутренних сил
∫
⋅=
L
dxxZEJW
0
2
))((
2
1
.
Потенциальная энергия системы Π = U – W. Если задаться те-
перь функцией прогибов балки в виде
∑
=
⋅=
M
m
mm
NaxZ
1
)(
,
то условие стационарности функционала потенциальной энергии при-
мет вид
.0=
Π
m
da
d
(1.23)
Условие (1.23) приводит к системе линейных уравнений для оп-
ределения неизвестных коэффициентов
m
a
. Этот метод был разрабо-
тан швейцарским математиком В. Ритцем и носит его имя.
Пример 4. Рассмотрим решение задачи из примера 1 методом
Ритца. Для шарнирно опертой по концам балки примем в качестве
базисных функции
)/sin( LxmaN
mm
π⋅=
.
Тогда функционал потенциальной энергии системы
.)/sin({
2
1
)}/sin(
0
2
1
0
1
2
2
∫
∑
∫
∑
π−π=Π
= =
L
M
m
L
M
m
mm
dxLxma
dx
d
EJdxLxmaq
(1.24)
Подставляя (1.24) в (1.23) при М = 3, получим систему линей-
ных уравнений, решив которую, найдем значения
)/(000054,0;0);(013071,0
4
32
4
1
EJqLaaEJqLa ===
и функцию прогибов балки в виде
)/3sin()(0000538,0)/sin()(013071,0)(
44
LxEJqLLxEJqLxZ π+π=
.
Для x = 0,5 Z(0,5) = 0,013071 при q = L = EJ = 1. Точное
решение для принятых значений q, L, EJ Z(0,5) = 5/384 = 0,01302.
Точность получаемых результатов во всех рассмотренных выше
примерах существенно зависит от выбора базисных функций. Если
в последнем примере выбрать, например, функцию
)( LxxaN
m
mm
−=
,
то
)()(0417,0)(
2
LxxEJqLxZ −=
и Z(0,5) = 0,0104. Погрешность составит 20 %.
1.2.4. Метод конечных элементов для решения
дифференциальных уравнений
Рассмотренные выше методы решения дифференциальных урав-
нений, описывающих напряженно-деформированное состояние раз-
личных систем, как уже было отмечено, удобно применять для анали-
за континуальных систем с непрерывно изменяющейся нагрузкой
и краевыми условиями. Это связано с тем, что решение задачи ищет-
ся в виде одной функции, описывающей поведение конструкции в целом.
В большинстве встречающихся на практике случаев исследуе-
мые системы состоят из некоторого числа различных конструктив-
ных элементов или рассчитываются на нагрузку в виде сосредоточен-
ных сил либо распределенную нагрузку, приложенную в ограничен-
ных областях. Моделирование таких систем при помощи одной
функции представляется весьма затруднительным, так как приходит-
ся применять специальные разрывные функции или строить системы
дифференциальных уравнений, описывающих различные части кон-
струкции. Решение таких дифференциальных уравнений существен-
но усложняет процесс анализа и не всегда приводит к удовлетвори-
тельному результату.
Естественным развитием рассмотренных выше численных ме-
тодов стал метод конечных элементов. С математической точки зре-
ния метод конечных элементов (МКЭ) представляет собой один из
численных методов решения дифференциальных уравнений. Более
Глава 1. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

Страницы