Численные методы расчета строительных конструкций. Лебедев А.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

16 17
А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций
Выполняя вычисления по формулам (1.28), для первого конечного
элемента длиной LE получим
;;);6/()6();3/()3(
11221221
2
12
2
11
KKKKLELEKLELEK ==+−=+=
).72/()112();72/(
21
LELEqfLEqf
−==
Получение разрешающей системы уравнений для всей конструк-
ции осуществляется при помощи процедуры объединения конечных
элементов. Для этого матрицы коэффициентов K конечных элементов
суммируются в узлах с одинаковыми номерами и записываются в об-
щую матрицу, размерность которой равна (M + 1)
⋅
(М + 1). Так, для
М = 6 матрица коэффициентов системы уравнений (1.27) имеет вид
.
00000
0000
0000
0000
0000
0000
00000
6
22
6
21
6
12
6
11
5
22
5
21
5
12
5
11
4
22
4
21
4
12
4
11
3
22
3
21
3
12
3
11
2
22
2
21
2
12
2
11
1
22
1
21
1
12
1
11
+
+
+
+
+
=
kk
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
kk
K
083,0;083,0;972,5;056,6
211211
==−== ffkk
ii
при LE = 0,167; q = 1; i = 1, 2, …, 6.
Свободные члены и неизвестные системы уравнений:
[ ]
,
221212121211
T
fffffffffffff +++++=
[ ]
.
7654321
T
ϕϕϕϕϕϕϕ=ϕ
Для учета граничных условий
0,0
71
=ϕ=ϕ
достаточно вы-
черкнуть из матрицы K соответствующие строки и столбцы. Решение
полученной системы уравнений следующее:
ϕ = [ –0,064 –0,101 –0,113 –0,101 –0,064].
Значения в строке ϕ являются величинами изгибающих момен-
тов в узлах (рис. 1.1) для q = LE = 1. Точное значение изгибающего
момента в середине пролета для балки равно 0,125. Расхождение со-
ставляет 9,6 %. Такое большое расхождение объясняется тем, что ап-
проксимация функциями (1.26) представляет балку в виде набора пря-
мых стержневых элементов, соединенных в узлах шарнирами, то есть
без учета изгибных деформаций. В действительности в узлах необхо-
димо учитывать не только линейные перемещения, но и углы поворота.
1.2.5. Основные выводы
Все рассмотренные методы сводят решение дифференциальных
уравнений к решению системы линейных уравнений относительно
некоторых параметров a
i
, i = 1, 2,…, n. Решение дифференциального
уравнения отыскивается в виде одной функции, описывающей пове-
дение конструкции целиком. Эта функция в результате решения зада-
чи получается в виде набора дискретных значений в некоторых точ-
ках или узлах, как в методе конечных разностей, или в виде системы
аппроксимирующих функций, как в методах Галёркина или вариаци-
онном. Различие в приведенных выше методах заключается в спосо-
бе построения разрешающей системы линейных уравнений. В мето-
де конечных разностей эта система получается «автоматически» из
разностного представления производных, в то время как в методах
взвешенных невязок и вариационном – в результате удовлетворения
соответствующих условий. Общие черты рассмотренных методов:
• искомое решение дифференциального уравнения отыскива-
ется для всей области определения функции (в рассмотренных при-
мерах – целиком для всей балки);
• точность получаемого решения зависит от выбора системы
базисных функций;
• выбор базисных функций предполагает неформальный ана-
лиз рассматриваемой системы, что затрудняет построение простых
вычислительных алгоритмов;
• аппроксимация решения дифференциального уравнения
в виде функции, описывающей поведение системы в целом, затруд-
няет учет сосредоточенных факторов, таких как сосредоточенные силы
или опирание в дискретных точках и т. п.
Глава 1. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

Страницы