Численные методы расчета строительных конструкций. Лебедев А.В. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

14 15
А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций
того, приведенные выше методы можно считать частным случаем
метода конечных элементов при числе элементов, равном 1.
Основное отличие МКЭ от рассмотренных методов состоит
в том, что в этих методах решение уравнения отыскивается в виде
функции, аппроксимирующей решение уравнения в целом, в то вре-
мя как в МКЭ решение строится в виде набора однотипных функций, опи-
сывающих области конечных размеров. При этом каждая такая область
или конечный элемент обладает теми же свойствами, что и вся система
в целом. Все конечные элементы соединяются между собой в узлах.
Формальное математическое представление аппроксимирующих
функций в методе конечных элементов имеет вид
,
1
∫
∑
∫
ω
=
ω
ωω
ω=ω
E
e
ll
e
dRWdRW
(1.25)
,
1
∫
∑
∫
Γ
=
Γ
ΓΓ
Γ=Γ
E
e
ll
e
dRWdRW
(1.25′)
при этом
∑∑
= =
Γ=Γω=ω
E
e
E
e
ee
11
,;
где Е – число подобластей или элементов, на которые разделяются
области определения решения ω и граничных условий Г.
Если подобласти, на которые разделена система, имеют простую
форму и свойства, определяемые базисными функциями, то процесс
получения решения сводится к представлению сложной области на-
бором простых элементов с известными свойствами, соединяющихся
между собой в узлах. В этом и заключается основная идея метода
конечных элементов.
Пример 5. Рассмотрим балку, шарнирно опертую и загруженную
равномерно распределенной нагрузкой q.
На длине балки 0 ≤ x ≤ L выберем M + 1 узлов (рис. 1.1). Узлу
с номером m сопоставим функцию N
m
и построим аппроксимацию
∑
+
=
∧
=≈
1
1
,
M
m
mm
NZZZ
где
m
Z
– значение аппроксимации в узле m.
LE
Номер узла
1
2
1
6
Номер элемента
Рис. 1.1. Нумерация узлов и конечных
элементов для примера 5
Выберем базисные функции для конечного элемента
,;)(;;
222111
NWLExLENNWLExN
=−===
(1.26)
где
)(
1 ii
xxLE
+
– расстояние между узлами, или длина конечногоо
элемента.
Дифференциальный оператор Λ в (1.15) имеет вид
2
/ dxd
, и урав-
нение (1.21) принимает вид
.1,...,2,1,0)/(
22
0
+==
∧
∫
MldxdxZdW
L
l
Интегрирование по частям позволяет получить более простое
выражение вида
.1,...,2,1,0
0
+==
−
∫
∧
Mldx
dx
Zd
dx
dW
L
l
Система линейных уравнений метода Галёркина имеет вид
K
⋅
Z = f
, (1.27)
где коэффициенты и свободные члены определяются по формулам
.1,,
,])/()[(
0
0
+≤≤=
+⋅=
∫
∫
MmlldxqNf
dxWNdxdWdxdNK
L
ll
L
mlmllm
(1.28)
Глава 1. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

Страницы