Численные методы расчета строительных конструкций. Лебедев А.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

10 11
А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций
представляет собой функцию распределения изгибающего момента
по длине балки. Если найти момент в точке x = L/2, получим M(0,5) =
= 0,125, что при принятых значениях q и L соответствует точному
значению M(0,5) = qL
2
/8.
Пример 3. Для балки с двумя защемленными концами диффе-
ренциальное уравнение имеет вид (1.1′). В качестве решения будем
искать функцию прогибов балки. Краевые условия: Z(0) =
= Z(L) = 0; Z′(0) = Z′(L) = 0.
Для учета подобных краевых условий в методе Бубнова – Галёр-
кина применяется общий подход, позволяющий одновременно апп-
роксимировать решение дифференциального уравнения и краевые
условия. При этом аппроксимирующая функция
∑
=
∧
⋅=≈
M
m
mm
NaZZ
1
может не удовлетворять краевым условиям. Тогда к невязке (1.15) по
области определения функции решения добавляется невязка в крае-
вых условиях
rZZBR +Μ==
∧∧
Γ
)(
и условие (1.16) принимает вид
.0
∫∫
ωΓ
Γω
=Γ⋅⋅+ω⋅⋅ dRWdRW
ll
(1.21)
В этом случае коэффициенты системы уравнений (1.17) будут
вычисляться по формулам
,
,
∫∫
∫∫
ω Γ
ωΓ
Γ⋅−ω⋅−=
ΓΜ+ωΛ⋅=
rdWpdWf
dNWdNWK
lll
mlmllm
(1.22)
где Г – область определения граничных условий.
Для рассматриваемого примера дифференциальные операторы
44
dxd=Λ
,
dxd
=Μ
,
qp =
,
0=r
.
Выбирая в качестве базисных функции
,)(;)(
2222
xLxWWxLxN
l
ll
m
m
−==−=
получим для l,
m = 1, 2 следующие значения коэффициентов и свобод-
ных членов системы (1.17):
;)1260/1()35/8(;8,0
107
12
5
11
LLKLK +=⋅=
;)35/8(;)1260/1()35/8(
9
22
107
21
LKLLK =−=
).2,0333,025,0();333,05,02,0(
2
2
2
1
LLqfLLqf +−=+−=
Принимая, как и прежде, q = 1, L = 1, найдем a
1
= 0,042,
a
2
= 0,000202.
Соответственно функция решения
2422
)(000202,0)(042,0)( xLxxLxxZ −⋅+−⋅=
при x = L/2 Z(0,5) = 0,002625, что практически соответствует при
q = L = EJ = 1 точному значению
.002604,0)/()384/1()5,0(
4
== EJqLLZ
1.2.3. Вариационные методы
Еще одной большой группой приближенных методов анализа
напряженно-деформированного состояния конструкций являются
вариационные методы.
В отличие от рассмотренных выше методов, при использовании
вариационных методов формируется некий вариационный принцип.
Например, при анализе напряженно-деформированного состояния
механических систем функция, соответствующая истинному напря-
женному состоянию конструкции, придает минимум функционалу по-
тенциальной энергии системы Π. Записывая условие стационарности
функционала потенциальной энергии в виде δΠ = 0, можно получить
систему разрешающих уравнений, аналогичных уравнениям (1.15).
Для упругих систем потенциальную энергию деформации можно
определить как сумму работ внешних и внутренних сил на возможных
перемещениях. Например, для балки, загруженной распределенной
нагрузкой q(x), выражение для работы внешних сил имеет вид
.)()(
0
∫
=
L
dxxZxqU
Глава 1. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

Страницы