Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Teorema 2.2 (Svo$istva obrazov mnoestv). Dl binarnogo otno-
xeni (R, A, A) i
X, Y
iz
P(A
) : 1)
R
h
X
∪
Y i = RhX
i ∪
Rh
Y
i
,
2) Rh
X ∩
Y i⊆RhX
i ∩
R
h
Y i,
3)
esli X⊆Y
, to R
hXi⊆Rh
Y
i
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Primenit~ teoremu 1.9.
J
Opredelenie 2.5 (Tipy binarnyh otnoxeni$i).
Binarnoe otno-
xenie
(
R, A, A) nazyvaets: refleksivnym, esli
∆
A
⊆R; tranzi-
tivnym, esli
(
R ◦
R)⊆
R
;
simmetriqnym, esli R
−1
⊆
R
; antisim-
metriqnym, esli
(R
∩
R
−
1
)
⊆
∆
A
. Binarnoe otnoxenie
(
R, A, B)
nazyvaets funkcional~nym
(
funkcie$i
)
, esli ( R
−
1
◦ R)⊆∆
A
.
Funkcii
Iz opredeleni 2.5 sleduet, qto nepustoe otnoxenie (f, A, B)
nazyvaets funkcional~nym, esli vypolnets uslovie
(∀
x
∈ A
)(∀y
1
∈ B
)(∀
y
2
∈ B)((xfy
1
∧xfy
2
) →
(
y
1
= y
2
))
,
oznaqawee, qto pri
f kadomu
x iz
A sootvetstvuet odin
i tol~ko odin lement v B
, t. e. `
((
x, y
)
∈ f
)
∼ (
y = f(
x
))
, gde
f
(
x
)
— znaqenie funkcii f pri argumente x. Funkcional~noe
otnoxenie
(f, A, B)
v sluqae, kogda Dom
f = A, oboznaqaets
simvolom
f : A → B , kotory$i qitaets tak: ”funkci f
, otob-
raawa mnoestvo A v mnoestvo
B
” ili kratko ”
f
est~
otobraenie A
v
B
”. Znaqenie
f
(
x) inogda zapisyvaets v vi-
de
f
x
, a funkci oboznaqaets simvolom {f
x
}
x
∈
A
i nazyvaets
seme$istvom lementov f
x
mnoestva
B s indeksami iz
A
.
Otnoxenie
∆
A
vlets funkcie$i, nazyvaemo$i todestvennym
otobraeniem
A na seb
. Lboe mnoestvo
A
mono nazvat~
seme$istvom, svzannym s otobraeniem
∆
A
; v tom sluqae slo-
va ”seme$istvo” i ”mnoestvo” mono sqitat~ sinonimami.
Opredelenie 2.6 (Osnovnye tipy funkci$i).
Funkci
f
:
A
→ B
nazyvaets
: srekcie$i
(
otobraeniem na
)
, esli Im
f
= B
;
inekcie$i
(
vzaimno odnoznaqnym otobraeniem v
)
, esli
f
−1
—
funkci;
biekcie$i, esli ona vlets srekcie$i i inekcie$i.
Utverdenie ”f — funkci” mono kratko vyrazit~ impli-
kacie$i
[x
1
=
x
2
]
→ [
f
(x
1
) = f(
x
2
)]. Utverdenie ”f
— inekci”
mono kratko vyrazit~ kvivalencie$i
[x
1
= x
2
]
∼ [
f(
x
1
) = f(
x
2
)].
Teorema 2.3 (Kompozici funkci$i). Esli f
: A
→
B
, g
: B →
C
,
to kompozici g◦
f
vlets funkcie$i, priqem (
g◦
f
)(x) =
g(
f(x)).
D o k a z a t e l ~ s t v o . [x(
g ◦ f
)z
] ∼
[(∃
y
∈
B
)
(
y
=
f(x
))∧(z
= g
(
y
))
] ∼
∼
[(
∃
y
∈ B)
z =
g(f(x))
]∼
[z
=
g(
f
(x))].
J
56

Страницы